Questão 23

ITA 2014

Física

(ITA – 2014) (2ª fase) A figura mostra parte de uma camada de um cristal tridimensional infinito de sal de cozinha, em que a distância do átomo de Na ao de seu vizinho Cl é igual a $a$ . Considere a existência dos seguintes defeitos neste cristal: ausência de um átomo de Cl e a presença de uma impureza de lítio (esfera cinza), cuja carga é igual à fundamental $+e$ , situada no centro do quadrado formado pelos átomos de Na e Cl. Obtenha as componentes F_x e F_y da força eletrostática resultante $vec{F}=F_{x}hat{x}+F_{y}hat{y}$ que atua no átomo de lítio. Dê sua resposta em função de $e, a$ e da constante de Coulomb K₀.

Gabarito:

Resolução:

Note que na primeira imagem todas as cargas posicionadas ao redor do lítio se anulam por estarem exatamente em pontos opostos, anulando assim a força elétrica:

Todas as retas vermelhas são anuladas pelas retas azuis.

Porém devido ao espaço em branco o lítio irá sofrer uma força da carga que se encontra exatamente oposta ao espaço vazio, como podemos ver nessa imagem:

E a força será feita somente devido a essa carga, pois como na primeira imagem, todas as outras forças são anuladas. então temos:

Sabemos que a distância do Na para seu vizinho é de a então temos que a distância do lítio até essa nossa carga vale: y=a/2 e x=5a/2, sendo y e x as respectivas distâncias da carga ao átomo lítio no eixo y e x.

Então pela formula de força elétrica temos:

$F= frac{K(Q1.Q2)}{d^{2}}$ sabendo que a distância d é a distância da carga até o átomo, podemos calcular ela usando Pitagoras com as distâncias em x e em y:

$d^{2}=x^{2}+y^{2}Rightarrow d^{2}=(frac{5a}{2})^{2}+(frac{a}{2})^{2}Rightarrow d^{2}=frac{26a^{2}}{4}=frac{13a^{2}}{2}$

Jogando na formula temos:

$F=frac{K.e.e}{(frac{13a^{2}}{2})}Rightarrow F=frac{2K.e^{2}}{13a^{2}}$

Decompondo essa força em x e em y temos:

Fx=Fcos θ e Fy=Fsen θ

e pelo triângulo acima temos que :

$cos(Theta )=frac{frac{5a}{2}}{asqrt{}(frac{26}{4})}Rightarrow frac{5}{sqrt{26}}=frac{5.sqrt{26}}{26}$

$sen(Theta )=frac{frac{a}{2}}{asqrt{}(frac{26}{4})}Rightarrow frac{1}{sqrt{26}}=frac{sqrt{26}}{26}$

então as componentes ficam:

$Fx=frac{2k.e^{2}}{13a^{2}}.frac{5.sqrt{26}}{26}=frac{5sqrt{26}.K.e^{2}}{169a^{2}}$

$Fy=frac{2k.e^{2}}{13a^{2}}.frac{sqrt{26}}{26}=frac{sqrt{26}.K.e^{2}}{169a^{2}}$

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