Questão 25

ITA 2014

Física

(ITA – 2014) (2ª fase) Partindo do repouso, uma bolinha cai verticalmente sobre um plano inclinado de um ângulo $heta$ com relação à horizontal, originando seguidos choques perfeitamente elásticos. Se $d$ é a distância inicial da bolinha ao plano, obtenha, em função de $d, n ; e ; heta$ , a distância do ponto do n-ésimo choque em relação ao ponto do primeiro choque.

Gabarito:

Resolução:

As decomposições sobre os eixos x e y são dadas por:

$a_{x} = gsen heta$

$a_{y} = gcos heta$

$d = hcos heta Rightarrow h = frac{d}{cos heta}$

$v_{cx} = v_{c}sen heta$

$v_{cy} = v_{c}cos heta$

Pelo princípio da Conservação da Energia Mecânica, ao atingir o ponto C:

$E_{C} = E_{A}$

$frac{mv_{c}^{2}}{2} = mgh$

$v_{c}^{2} = 2gh$

Imediatamente após cada colisão, a componente v_yserá constante, isto é, v_y= v_cy.

Ao atingir mais uma vez o ponto de afastamento máximo, à distância d do plano, essa componente se anula. Assim, o tempo de voo entre dois choques consecutivos é o mesmo.

$v_{y} = V_{cy} - a_{y}t_{a}$

$0 = v_{c} cos heta - gcos heta t_{a}$

$t_{a} = frac{v_{c}}{g}$

$t_{total} = 2t_{a} = frac{2v_{c}}{g}$

Adotando t = 0 no instante do primeiro choque, imediatamente antes do n-ésimo choque o tempo t_né:

$t_{n} = (n-1) t_{total}$

$t_{n} = (n-1) frac{2v_{c}}{g}$

Na direção x o movimento é uniformemente acelerado. A distância $Delta x_{n}$ do ponto C até o ponto do n-ésimo choque é:

$Delta x_{n} = v_{cx}t_{n} + frac{a_{x}}{2} t^{2} _{n}$

$Delta x = v_{c}sen heta [(n-1)frac{2v_{c}}{g}] + frac{gsen heta}{2} [(n-1)frac{2v_{c}}{g}]^{2}$

$Delta x _{n} = frac{2v_{c}^{2}sen heta (n-1)}{g} + frac{gsen heta}{2} cdot frac{4 v_{c}^{2}(n-a)^{2}}{g^{2}}$

$Delta x _{n} = frac{2v_{c}^{2}sen heta (n-1)[1+n-1]}{g}$

$Delta x _{n} = frac{2v_{c}^{2}sen heta (n^{2}-n)}{g}$

Substituindo os valores sucessivamente:

$Delta x _{n} = frac{2(2gh)sen heta (n^{2}-n)}{g}$

$Delta x _{n} = 4 frac{d}{cos heta} sen heta (n^{2}-n)$

$oxed {Delta x _{n} = 4d cdot tg heta (n^{2} - n)}$

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