Questão 23

ITA 2016

Física

(ITA - 2016 - 2ª FASE)

Um cilindro vertical de seção reta de área A₁, fechado, contendo gás e água é posto sobre um carrinho que pode se movimentar horizontalmente sem atrito. A uma profundidade h do cilindro, há um pequeno orifício de área A₂ por onde escoa a água. Num certo instante a pressão do gás é p, a massa da água, M_a e a massa restante do sistema, M. Determine a aceleração do carrinho nesse instante mencionado em função dos parâmetros dados. Justifique as aproximações eventualmente realizadas.

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente vamos usar a equação de Bernoulli para achar a velocidade que a água sai do recipiente:

Entre os pontos 1 e 2, sendo o ponto 2 aonde a água está saindo do recipiente temos:

$P + ho .g.h + frac{ ho . (v_1) ^2}{2}= P_{atm}+ frac{ ho (v_2) ^2 }{2}$

Além disso, temos a equação da continuidade:

$A_1v_1= A_2.v_2Rightarrow v_1= frac{A_2.v_2}{A_1}$

Substituindo acima temos:

$\ P + ho .g.h + frac{ ho . (frac{A_2.v_2}{A_1}) ^2}{2}= P_{atm}+ frac{ ho (v_2) ^2 }{2}\ \ (v_2)^2 = (frac{2(P-P_{atm})}{ ho}+ 2.g.h) . frac{1}{(1-( frac{A_2}{A_1})^2)}$

Como A2<<A1 temos:

$\ P + ho .g.h + frac{ ho . (frac{A_2.v_2}{A_1}) ^2}{2}= P_{atm}+ frac{ ho (v_2) ^2 }{2}\ \ (v_2)^2 = (frac{2(P-P_{atm})}{ ho}+ 2.g.h) .$

A formula para o sistema que perde massa é:

$a= frac{varphi . v_2}{M+M_a}$

Sendo $varphi$ igual a variação de massa pelo tempo ou seja é a quantidade de massa que sai do furo por tempo, isso pode ser escrito da seguinte maneira:

$varphi = ho . A . v$ fazendo a analise dimensional é possível checar que essa grandeza vale Kg/s

Com isso temos:

$a= frac{( ho . A_2.v_2). v_2}{M+M_a}Rightarrow a = frac{ ho . A_2.(v_2)^2} {M+M_a}$

Substituindo essa equação no v2 que encontramos temos

$a= frac{2A_2 (P-P_{atm}+ ho.g.h)}{M+M_a}$

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