Questão 18

ITA 2017

Física

(ITA - 2017 - 1ª FASE)

Uma transformação cíclica XYZX de um gás ideal indicada no gráﬁco P ×V opera entre dois extremos de temperatura, em que YZ é um processo de expansão adiabática reversível. Considere R = 2,0 cal/mol.K = 0,082 atm.ℓ/mol.K , PY = 20 atm, VZ = 4,0 ℓ, VY = 2,0 ℓ e a razão entre as capacidades térmicas molar, a pressão e a volume constante, dada por CP/CV = 2,0. Assinale a razão entre o rendimento deste ciclo e o de uma máquina térmica ideal operando entre os mesmos extremos de temperatura.

A

0,38

B

0,44

C

0,55

D

0,75

E

2,25

Gabarito:

0,44

Resolução:

A)No ponto Z, calcularemos a pressão P_Z, levando em conta que a transformação YZ é adiabática:

$P_{Y}.V_{Y}^{gamma }=P_{Z}.V_{Z}^{gamma }$

$20.10^{5}.(2,0.10^{-3})^{2,0}=P_{Z}(4,0.10^{-3})^{2,0}$

$P_{Z}=5,0.10^{5}Pa$

A transformação ZX é isobárica, logo, $P_{Z}=P_{X}$

B)Vamos aos cálculos das temperaturas absolutas nos pontos X, Y e Z.

Equação de Clapeyron:

$PV=nRT$

$T=frac{PV}{nR}$

$T_{Y}=frac{20.10^{5}.2,0.10^{-3}}{nR} (K)$

$T_{Y}=frac{4,0.10^{3}}{nR} (K)$

$T_{Z}=frac{5,0.10^{5}.4,0.10^{-3}}{nR} (K)$

$T_{Z}=frac{2,0.10^{-3}}{nR} (K)$

$T_{X}=frac{5,0.10^{5}.2,0.10^{-3}}{nR} (K)$

$T_{X}=frac{1,0.10^{3}}{nR} (K)$

C)Vamos ao cálculo do rendimento de Carnot, r_C:

$r_{C}=1-frac{T_{fria}}{T_{quente}}$

$r_{C}=1-frac{frac{1,0.10^{3}}{nR}}{frac{4,0.10^{3}}{nR}}$

$r_{C}=frac{3,0}{4,0}$

D)Calor total recebido pelo gás, em XY:

$frac{C_{P}}{C_{V}}=2,0$

$C_{P}=2,0C_{V}$

A partir da Relação de Mayer, temos:

$C_{P}-C_{V}=R$

$2,0C_{V}-C_{V}=R$

$C_{V}=R$

$Q_{XY}=nC_{V}.(frac{4,0.10^{3}}{nR}-frac{1,0.10^{3}}{nR}) (J)$

$Q_{XY}=3,0.10^{3}J$

E)Vamos ao trabalho total do ciclo:

$au_{total}= au_{YZ}+ au_{ZX}+ au_{XY}$

YZ é adiabática, logo:

$au_{YZ}=frac{P_{Z}V_{Z}-P_{Y}V_{Y}}{1,0-gamma }$

$au_{YZ}=frac{5,0.10^{5}.4,0.10^{-3}-20.10^{5}.2.10^{-3}}{1,0-2,0}$

$au_{YZ}=2,0.10^{3}J$

ZX é isobárica, logo:

$au_{ZX}=PDelta V$

$au_{ZX}=5,0.10^{5}.(2,0.10^{-3}-4,0.10^{-3}) (J)$

$au_{ZX}=-1,0.10^{3}J$

XY é isométrica, logo:

$au_{XY}=0J$

$au_{total}=2,0.10^{3}J-1,0.10^{3}J+0J$

$au_{total}=1,0.10^{3}J$

F)Vamos ao cálculo do rendimento do ciclo (r):

$r=frac{ au_{total}}{Q_{XY}}$

$r=frac{1,0.10^{3}}{3,0.10^{3}}$

$r=frac{1,0}{3,0}$

A razão $ho$ , é dada por:

$ho=frac{r}{r_{C}}$

$ho=frac{frac{1,0}{3,0}}{frac{3,0}{4,0}} =frac{4,0}{9,0}$

$hocong0,44$

Chegamos assim à alternativa B.

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