Questão 8

ITA 2017

Física

(ITA - 2017 - 2ª FASE)

Deseja-se aquecer uma sala usando uma máquina térmica de potência P operando conforme o ciclo de Carnot, tendo como fonte de calor o ambiente externo à temperatura T₁. A troca de calor através das paredes se dá a uma taxa k(T₂ - T₁) em que T₂ é a temperatura da sala num dado instante e k uma constante com unidade em J/s.K. Pedem-se:

a) A temperatura final de equilíbrio da sala.

b) A nova temperatura de equilíbrio caso se troque a máquina térmica por um resistor dissipando a mesma potência P.

c) Entre tais equipamentos, indique qual o mais adequado em termos de consumo de energia. Justifique.

Gabarito:

Resolução:

O enunciado diz que a máquina opera pelo ciclo de Carnout, então podemos usar a seguinte relação:

$frac {left | Q_1 ight |} {left | Q_2 ight |} = frac {T_1}{T_2}$ $(I)$

E usando a primeira lei da termodinâmica, temos:

$Q_2 = Q_1 + W$ $(II)$

Usando II em I:

$frac { Q_2 - W} { Q_2} = frac {T_1}{T_2}$

$Q_2- W = frac {T_1}{T_2} cdot Q_2$

$W = frac {T_1}{T_2} cdot left | Q_2 ight | - left | Q_2 ight |$

$W = Q_2(1-frac {T_1}{T_2})$

$W =Q_2(frac {T_2 - T_1}{T_2})$

$W cdot (frac {T_2}{T_2 - T_1}) = Q_2$

Vamos dividir tudo por $Delta t$ :

$frac {W}{Delta t} cdot (frac {T_2}{T_1 - T_2}) =frac {Q_2}{Delta t}$

$P cdot (frac {T_2}{T_1 - T_2}) =frac { Q_2 }{Delta t}$

Observe que $frac {Q_2}{Delta t}$ é a taxa de calor por um intervalo de tempo que a máquina térmica cede para a sala, que o enunciado nos diz que essa taxa de calor vale $k(T_2 - T_1)$ na situação de equilíbrio

$k(T_2 - T_1) =frac {left | Q_2 ight | }{Delta t}$

$k(T_2 - T_1) =P cdot (frac {T_2}{T_2 - T_1})$

$k(T_2 - T_1)^2 =P cdot T_2$

$k(T_2^2 - 2T_2 T_1 + T_1^2) =P cdot T_2$

$(T_2^2 - 2T_2 T_1 + T_1^2) =frac P k cdot T_2$

$(T_2^2 - 2T_2 T_1 + T_1^2) - frac P k cdot T_2 = 0$

$T_2^2 - 2T_2 T_1 - frac P k cdot T_2 + T_1^2 = 0$

Para encontrarmos a equação de T2, vamos ter que interpretar nossa equação como uma equação de segundo grau.

$ax^2 + bx + c = 0$

$T_2^2 - (2 T_1 + frac P k) T_2 + T_1^2 = 0$

Agora usaremos a equação de Bhaskara para encontrar o valor de T2:

$frac{-b pm sqrt {Delta}}{2a} = x$

$frac{-b pm sqrt {b^2 - 4ac}}{2a} = x$

$frac{(2 T_1 + frac P k) pm sqrt {(2 T_1 + frac P k)^2 - 4(1)(T_1^2)}}{2} = x$

$frac{(2 T_1 + frac P k) pm sqrt {(4 T_1^2 + 4T_1 frac {P} {k} + frac {P^2}{k^2}) - 4T_1^2}}{2} = x$

Podemos cortar o 4T²

$frac{(2 T_1 + frac {P} {k}) pm sqrt {(+-4T_1 frac {P} {k} + frac {P^2}{k^2})}}{2} = x$

$frac{(2 T_1 + frac {P} {k}) pm sqrt {frac {P} {k}( +4T_1 + frac {P}{k})}}{2} = x$

Como x = T2 e T2>T1 então:

$frac{(2 T_1 + frac {P} {k}) + sqrt {frac {P} {k}( +4T_1 + frac {P}{k})}}{2} = T_2$

Agora para a letra B:

Temos:

$P = k(T_2 - T_1)$

$P = kT_2 - kT_1$

$frac {P}{k} + T_1 = T_2$

E para a letra C, temos de analisar como é o fornecimento de calor de cada máquina:

O resistor fornece para a sala o calor que é dissipado pela resistência. Já a máquina térmica é o calor absorvido do meio externo junto com o calor da resistência da máquina, então a melhor opção seria a máquina térmica.

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