Questão 48

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 1ª FASE)

Considere as seguintes afirmações:

I. se x₁, x₂ e x₃ são as raízes da equação x³ - 2x² + x + 2 = 0, então y₁ = x₂x₃, y₂ = x₁x₃ e y₃ = x₁x₂ são as raízes da equação y³ - y² - 4y - 4 = 0.

II. a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9

III. $sqrt{frac{3+sqrt{5}}{2}}=frac{1+sqrt{5}}{2}$

É(são) VERDADEIRA(S)

apenas I

apenas II

apenas III

apenas II e III

todas

Gabarito:

todas

Resolução:

I. Verdadeira

$x^2-2x^2+x+2=0$

pelas equações de Girard, temos:

$left{egin{matrix} x_1+x_2+x_3=2 \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1 \x_1x_2x_3=-2 end{matrix} ight.$

Do enúnciado, temos:

$y_1=x_2x_3; , y_2=x_1x_3; ,y_3=x_1x_2$

$y_1+y_2+y_3 = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1$

$y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3 = x_1x_2x_3^2+x_1x_2^2x_3+x_1^2x_2x_3$

$y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3 = x_1x_2x_3left( x_1+x_2+x_3 ight )=left(-2 ight )left(2 ight )=-4$

$y_1y_2y_3=left( x_1+x_2+x_3 ight )^2=left(-2 ight )^2=4$

Considerando:

$ay^3+by^2+cy+d=0$

para a = 1

$-frac{b}{a}=-frac{b}{1}=1Rightarrow b=-1$

$frac{c}{a}=frac{c}{1}=-4 Rightarrow c = -4$

$-frac{d}{a}=-frac{d}{1}=4 Rightarrow d = 4$

$y^3-y^2-4y-4=0$

II. Verdadeira

PRIMEIRA FORMA DE RESOLVER:

$left(x-1 ight )^3+x^3+left(x+1 ight )^3=2xleft[(x-1)^2-(x-1)(x+1+(x+1)^2) ight ]+x^3$

$=2xleft[x^2-2x+1-x^2+1+x^2+2x+1 ight ]$

$=2x(x^2+3)+x^3=3x^3+6x=3x(x^2+2)$

i) se x = 3k, então

$3x(x^2+2)=3cdot 3kleft((3k)^2+2 ight )=9left[k(9k^2+2) ight ]$

ii) se x = 3k + 1, então

$3x(x^2+2)=3cdot (3k+1)left[(3k+1)^2+2 ight ]=3(3k+1)left[(9k^2+6k+3) ight ]$

$=9(3k+1)(3k^2+2k+1)$

iii) se x = 3k + 2, então

$3x(x^2+2)=3(3k+2)left[(3k+2)^2+2 ight ]=3(3k+2)(9k^2+12k+6)$

$=9(3k+2)(3k^2+4k+2)$

SEGUNDA FORMA DE RESOLVER- PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA

$left(x-1 ight )^3+x^3+left(x+1 ight )^3=2xleft[(x-1)^2-(x-1)(x+1+(x+1)^2) ight ]+x^3$

$=2xleft[x^2-2x+1-x^2+1+x^2+2x+1 ight ]$

$=2x(x^2+3)+x^3=3x^3+6x=3(x^3+2x)$ . Como já temos um fator 3 no número resultante, temos que garantir que o segundo fator (x³+2x) também seja divisível por três.

Para x=1 temos:

$(x^3+2x)=(1^3+2 cdot 1)=3$ . Considerando que (x³+2x) seja sempre divisível por três, vamos provar que é verdadeiro para x+1, ou seja, que : [(x+1)³+2(x+1)] é divisível por 3.

$[(x+1)^3+2(x+1)]= x^3+3x^2+3x+1+2x+2=x^3+2x+3x^2+3x+3$ , mas como consideramos que (x³+2x) é sempre divisível por três, vamos escrever esse termo na equação anterior da forma 3k, k pertence aos inteiros. Temos:

$[(x+1)^3+2(x+1)]= x^3+3x^2+3x+1+2x+2=x^3+2x+3x^2+3x+3=$

$= 3k+3x^2+3x+3= 3(k+x^2+x+1)$ , que, como percebemos, é múltiplo de 3, portanto, a afirmativa é verdadeira.

III. Verdadeira

$frac{3+sqrt{5}}{2}=(a+b)^2Rightarrow left{egin{matrix} a^2+b^2=frac{3}{2}\ 2ab=frac{sqrt{5}}{2} end{matrix} ight. Rightarrow left{egin{matrix} a^2+b^2=frac{3}{2}\ ab=frac{sqrt{5}}{4} end{matrix} ight.$

$Rightarrow left{egin{matrix} a^2+b^2=frac{3}{2}\ a^2b^2=frac{sqrt{5}}{16} end{matrix} ight. Rightarrow w^2-frac{3}{2}w+frac{5}{16}=0$

$w=frac{frac{3}{2}pm sqrt{frac{9}{4}-frac{5}{4}}}{2}=frac{frac{3}{2} pm 1}{2}=frac{3 pm 2}{4}$

$w_1=frac{5}{4}$

$w_2=frac{1}{4}$

$left{egin{matrix} a^2=frac{5}{4}Rightarrow a=pm frac{sqrt{5}}{2}\ b^2=frac{1}{4}Rightarrow a=pm frac{1}{2} end{matrix} ight. Rightarrow frac{3+sqrt{5}}{2}=left(frac{1+sqrt{5}}{2} ight )^2$

Questão 48

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