Questão 45

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 1ª FASE)

Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes A de ordem n × n inversíveis, tais que os seus elementos e os de sua inversa sejam todos números inteiros:

I. $egin{vmatrix} det(A) end{vmatrix}=1$ .

II. $A^{T}=A^{-1}$ .

III. $A+A^{-1}$ é uma matriz diagonal.

É(são) sempre VERDADEIRA(S)

apenas I.

apenas III.

apenas I e II.

apenas I e III.

todas.

Gabarito:

apenas I.

Resolução:

I. Seja $A=egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} end{pmatrix}$ :

$b_{ij}=frac{1}{det(A)}cdot (-1)^{i+j} cdot D_{n-1}$

onde $b_{ij}$ é o elemento de $A^{-1}$ na linha $i$ e coluna $j$ e $D_{n-1}$ é o determinante dos elementos de $A$ retirando-se a linha $i$ e coluna $j$ .

$b_{ij} in mathbb{Z}$ , logo, $det(A)$ é divisor de $D_{n-1}$ .

Suponha que i=1 e j=1:

$D_{n-1}=egin{vmatrix} a_{22} & dots & a_{2n}\ vdots & ddots & vdots \ a_{n2} & dots & a_{nn} end{vmatrix}$

$iny D_{n-1}=(-1)^2 cdot a_{22} cdot egin{vmatrix} a_{33} & dots & a_{3n}\ vdots & ddots & vdots \ a_{n3} & dots & a_{nn} end{vmatrix} + (-1)^3 cdot a_{23} cdot egin{vmatrix} a_{32} & dots & a_{3n}\ vdots & ddots & vdots \ a_{n2} & dots & a_{nn} end{vmatrix} + dots + (-1)^n cdot a_{2n} cdot egin{vmatrix} a_{32} & dots & a_{3(n-1)}\ vdots & ddots & vdots \ a_{3n} & dots & a_{(n-1)(n-1)} end{vmatrix}$ , logo, $det(A)$ deve ser também divisor de $a_{22}$ , ..., $a_{2n}$ , para que $b_{ij} in mathbb{Z}$ .

Podemos repetir este procedimento para todos os elementos de A. O único valor que faz isto ser possível é $det(A)=pm 1$ ou $left | det(A) ight |=1$ .

Logo, a I é VERDADEIRA.

II. Suponha $A = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 end{pmatrix}$ , $det(A)=4$ , logo, $A^{-1}=egin{pmatrix} frac{1}{2} & 0 \ 0 & frac{1}{2} end{pmatrix}$

$A^{T}=A=egin{pmatrix} 2 & 0\ 0 & 2 end{pmatrix}$ , logo, $A^{-1} eq A^{T}$ . Daí II é FALSO.

III. Suponha $A = egin{pmatrix} 1 & 2\ 1 & 1 end{pmatrix}$ , $det(A) eq-1$ , logo,

$A^{-1}=(-1)cdot egin{pmatrix} 1 & -2\ -1 & 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} -1 & 2\ 1 & -1 end{pmatrix}$ , logo, $A+A^{-1} = egin{pmatrix} 0 & 4\ 2 & 0 end{pmatrix}$ , que não é diagonal. Logo, III é FALSO.

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