Questão 41

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 1ª FASE)

Assinale a opção que identifica o lugar geométrico de todos os pares ordenados $left(a,b ight )inmathbb{R}^2$ que tornam impossível o sistema linear

$S:left{egin{matrix} -x+5y=10\ left(frac{a^2}{5} + 5b^2 ight )x+10aby=1 end{matrix} ight.$

Uma elipse

Uma reta

Uma parábola

Uma hipérbole

Um único ponto

Gabarito:

Uma reta

Resolução:

Seja $S:left{egin{matrix} -x+5y=10\ left(frac{a^2}{5} + 5b^2 ight )x+10aby=1 end{matrix} ight.$ . Por Cramer, temos:

$D_2=egin{vmatrix} -1 & 5\ frac{a^2}{5}+5b^2 & 10ab end{vmatrix}=0Rightarrow -10ab-5cdotleft(frac{a^2}{5}+5b^2 ight )=0$ $Rightarrow -10ab-a^2-25b^2=0Rightarrowleft(5b^2 ight )+2cdotleft(5b ight )cdotleft(a ight )+a^2=0$ $Rightarrow left(5b+a ight )^2=0Rightarrow5b+a=0Rightarrow a = -5b$

Repare que, para ordenadas $left(a,b ight )$ em um plano dos reais com $a=-5b$ , a equação $a+5b=0$ representa uma reta.

Substituindo $a$ por $-5b$ na segunda equação do sistema e no termo $left(frac{a^2}{5}+5b^2 ight )$ , o sistema $S$ fica assim representado:

$S:left{egin{matrix} -x+5y=10\ 10b^2x+10aby=1 end{matrix} ight.Rightarrow S:left{egin{matrix} -x+5y=10\ bx+ay=frac{1}{10b} end{matrix} ight.$

Como $a=-5b$ , então:

$S:left{egin{matrix} -x+5y=10\ bx-5by=frac{1}{10b} end{matrix} ight.$

Da primeira equação do sistema, tiramos: $x=5y-10$ . Substituindo este valor na segunda equação do sistema achamos:

$5by-10b-5by=frac{1}{10b}Rightarrow -10b=frac{1}{10b}Rightarrow b=frac{sqrt{-1}}{10}$ . Porém, $b=frac{sqrt{-1}}{10}inmathbb{C}$ . Como $binmathbb{Z}$ , então há ABSURDO no que foi achado.

Desta forma, pode-se afirmar que, para $extbf{a=-5b}$ , para todo $extbf{a}$ e $extbf{b}$ reais, o sistema $extbf{S}$ é IMPOSSÍVEL.

Como $a+5b=0$ representa uma reta em $mathbb{R}^2$ uma reta, a alternativa correta é B.

Questões relacionadas

Questão 38

(ITA - 2019 - 1ª FASE) Seja p(x) = x3 + ax2 + bx um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética....

Ver questão

Questão 44

(ITA - 2019 - 1ª FASE) As faces de dez moedas são numeradas de modo que: a primeira moeda tem faces 1 e 2; a segunda, 2 e 3; a terceira, 3 e 4, e assim sucessivamente até a d&eacut...

Ver questão

Questão 43

(ITA - 2019 - 1ª FASE) Considere as seguintes afirmações: I. se é um número natural, então II. se é um número real e&nbs...

Ver questão

Questão 37

(ITA - 2019 - 1ª FASE) Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio d...

Ver questão