Questão 39

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 1ª FASE)

Seja $gamma$ a circunferência de equação $x^2+y^2=4$ . Se $r$ e $s$ são duas retas que se interceptam no ponto $P=left(1,3 ight )$ e são tangentes a $gamma$ , então o cosseno do ângulo entre $r$ e $s$ é igual a

$frac{1}{5}.$

$frac{sqrt{7}}{7}.$

$frac{1}{2}.$

$frac{sqrt{2}}{2}.$

$frac{2sqrt{6}}{5}.$

Gabarito:

$frac{1}{5}.$

Resolução:

$gamma:x^2+y^2=4$ e as retas $r$ e $s$ são representadas na figura a seguir:

Observe o triângulo OPM:

Sendo $OM=2$ (raio da circunferência) e $OP=sqrt{1^2+3^2}=sqrt{10}$ (Distância entre pontos P e O).

Também, por Pitágoras, $MP^2+OM^2=OP^2Rightarrow MP^2+2^2=left(sqrt{10} ight )^2Rightarrow MP=sqrt{6}$ .

Logo, $cosleft(frac{alpha}{2} ight )=frac{MP}{OP}=frac{sqrt{6}}{sqrt{10}}=sqrt{frac{3}{5}}$ .

$cosleft(alpha ight )=2cos^2left(frac{alpha}{2} ight )-1Rightarrow cos^2left(frac{alpha}{2} ight )=frac{cosalpha+1}{2}Rightarrow cosleft(frac{alpha}{2} ight )=sqrt{frac{cosalpha+1}{2}}$ $Rightarrow cosleft(frac{alpha}{2} ight )=sqrt{frac{3}{5}}Rightarrow frac{cosalpha+1}{2}=frac{3}{5}Rightarrow cosalpha=frac{1}{5}.$

Daí, a letra correta A.

Questões relacionadas

Questão 38

(ITA - 2019 - 1ª FASE) Seja p(x) = x3 + ax2 + bx um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética....

Ver questão

Questão 44

(ITA - 2019 - 1ª FASE) As faces de dez moedas são numeradas de modo que: a primeira moeda tem faces 1 e 2; a segunda, 2 e 3; a terceira, 3 e 4, e assim sucessivamente até a d&eacut...

Ver questão

Questão 43

(ITA - 2019 - 1ª FASE) Considere as seguintes afirmações: I. se é um número natural, então II. se é um número real e&nbs...

Ver questão

Questão 37

(ITA - 2019 - 1ª FASE) Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio d...

Ver questão