Questão 1

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Determine os valores reais de a e b para os quais as equações $x^3 + ax^2 + 18 = 0$ e $x^3 + bx + 12 = 0$ possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes .

Gabarito:

Resolução:

Sejam :

$x_1, x_2, x_3$ as raízes de P(x) e $x_1, x_2, x_4$ as de Q(x)

$left{egin{matrix} x_1+x_2+x_3=-a::(I)\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=0 ::(II) \ x_1x_2x_3=-18::(III) end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} x_1+x_2+x_4=0::(IV)\x_1x_2+x_1x_4+x_2x_4=b ::(V) \ x_1x_2x_4=-12::(VI) end{matrix} ight.$

$frac{(III)}{(VI)}Rightarrow frac{x_3}{x_4}=frac{3}{2}:Rightarrow x_4=frac{2x_3}{3}\\\frac{(II)}{(IV)}Rightarrow x_4=a+x_3 \\Logo:\\x_3=-3a\\x_4=-2a$

Substituindo em (I) e em (III) temos :

$left{egin{matrix} x_1+x_2=2a\x_1x_2=frac{6}{a} end{matrix} ight.$

Substituindo em (V) :

$b=frac{6}{a}-4a^2$

Substituindo em (II), temos que :

$\a^3=1Rightarrow a=1:e:b=2\\b=2a$

Então:

$x_1+x_2=2::e::x_1x_2=6\\x_1(2-x_1)=6Rightarrow 2x_1-x_1^2=6\\x_1^2-2x_1+6=0\\x_1=frac{2pm 2sqrt{5}i}{2}=1pm sqrt{5}i\\x_2=1pm sqrt{5}i\\x_1=1+sqrt{5}i :::e:::x_2=1-sqrt{5}i$

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