Questão 5

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Seja F o foco da parábola de equação $(y-5)^2=4(x-7)$ , e sejam A e B os focos da elipse da equação $frac{(x-4)^2}{9}+frac{(y-2)^2}{8}=1$ . Determine o lugar geométrico formado pelos pontos P do plano tais que a área do triângulo ABP seja numericamente igual ao dobro da distância de P a F.

Gabarito:

Resolução:

Para a elipse:

$frac{(x-4)^2}{9}+frac{(y-2)^2}{8}=1$

Elipse centrada em

O(4,2) com a=3, $b = 2sqrt{2}$

Logo, a²=b²+c² -> c=1

O=A+(1,0) = B-(1,0)

$left{egin{matrix}A = (3,2) \ B = (5,2) end{matrix} ight.$

Para a parábola:

$(y-5)^2=4(x-7)$

Parábola centrada em (7,5) com diretriz paralela ao eixo y, onde 2p=4 (parâmetro da cônica) -> p=2

Logo, F = (7,5)+(1,0)=(8,5)

Daí, o LG. é dado por:

$egin{vmatrix}ADelta ABP end{vmatrix} = 2egin{vmatrix} PF end{vmatrix}, com ;P(x,y)$

$frac{2*|(y-2)|}{2}=2sqrt{(x-8)^2+(y-5)^2}$

$(y-2)^2=4*(x-8)^2+4*(y-5)^2$

$4(x-8)^2+[(2y-10)-(y-2)][(2y-10)+(y-2)]=0$

$4(x-8)^2+y-8+3y-12=0$

$OBS:;(y-8)*(3y-12)=3*(y-8)*(y-4)$

$OBS:; 3*(y-8)*(y-4) = 3*(y^2-12+32+4-4)$

$OBS:; 3*(y^2-12+32+4-4) = 3*(y-6)^2-4$

$herefore$ $4(x-8)^2+3(y-6)^2=12$

$frac{(x-8)^2}{3}+frac{(y-6)^2}{4}=1$

Equação do lugar geométrico:

$frac{(x-8)^2}{3}+frac{(y-6)^2}{4}=1$

Elipse centrada em (8,6) com a=2, $b = sqrt{3}$ , c=1 e eixo maior paralelo ao eixo y do sistema de coordenadas

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