Questão 6

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Sejam a, b e c três números reais em progressão aritmética crescente, satisfazendo

$cos ; a + cos ; b + cos ; c = 0$

$sen ; a + sen ; b + sen ; c = 0$

Encontre a menor razão possível para essa progressão aritmética.

Gabarito:

Resolução:

(a, b, c) estão em PA, logo

$left{egin{matrix} a = b-R\ c = b+Rend{matrix} ight.$

Temos pelo enunciado que

$sen ; a + sen ; b + sen ; c = 0$ (1)

$cos ; a + cos ; b + cos ; c = 0$ (2)

De 1:

$sen ; (b-R) + sen ; b + sen ; (b+R) = 0$

$sen ; b + 2; sen ;b*cos;R = 0$

$sen ; b *(1+2 ;cos;R)=0$

Caso 1: $sen;b=0 ightarrow cos;b=pm 1$

Jogando em 2:

$cos ; (b-R) + cos ; (b+R) = -cosb$

$2cos;b*cos;R=-cosb$

Logo:

$cos;R = -frac{1}{2} ightarrow R=egin{Bmatrix} frac{2pi }{3}, frac{4pi }{3} end{Bmatrix}$

Caso 2:

$1+2cos;R=0$

$cos;R=-frac{1}{2}$

Em 2:

$2cos;b*cos;R+cos;b=0$ $forall bepsilon mathbb{R}$

$cos;R = -frac{1}{2} ightarrow R=egin{Bmatrix} frac{2pi }{3}, frac{4pi }{3} end{Bmatrix}$

Logo, a menor razão possível para essa PA é $frac{2pi }{3}$

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