Questão 10

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Escolhem-se aleatoriamente três números distintos no conjunto {1, 2, 3, ... ,29, 30}. Determine a probabilidade da soma desses três números ser divisível por 3.

Gabarito:

Resolução:

A = {1, 2, 3, ..., 29, 30}

$Omega =inom{30}{3}=frac{30!}{3!27!}=frac{30cdot 29cdot 28}{6}=4060$ Espaço amostral

No conjunto A, os números podem ser escritos como 3k, 3k - 2 ou 3k -1. Assim, podemos dividir o conjunto A nos seguintes subconjuntos

$A_{1}=left { xin A/x=3k-2, kin mathbb{N}^{*} ight }Rightarrow 10 elementos$

$A_{2}=left { xin A/x=3k-1, kin mathbb{N}^{*} ight }Rightarrow 10 elementos$

$A_{3}=left { xin A/x=3k, kin mathbb{N}^{*} ight }Rightarrow 10 elementos$

Soma x₁ + x₂ + x₃ é M(3):

1º opção: x₁, x₂ e x₃ $in A_{3}$

#(1º opção): $inom{10}{3}=frac{10!}{3!7!}=120$

2º opção: x₁, x₂ e x₃ $in A_{2}$

#(2º opção) = $inom{10}{3}=120$

3º opção: x₁, x₂ e x₃ $in A_{1}$

#(3º opção) = $inom{10}{3}=120$

4 opção: x₁ $in A_{1}$ , x₂ $in A_{2}$ e x₃ $in A_{3}$

# (4º opção) = 10.10.10 = 1000

Logo, o total de possibilidades de soma cuja soma é divisível por 3 é:

120 + 120 + 120 + 1000 = 1360.

Portanto, a probabilidade pedida é: $P=frac{1360}{4060}cong 0,3349$

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