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Questão 38848

ITA 2019
Matemática

Se x > 0. qual é o valor mínimo de y = x^2 + frac{1}{x}?

Sugestão: Desigualdade das médias. (Consulte o material teórico disponibilizado em pdf no tópico "Inequações" deste curso Turma ITA 2019)

A

1.

B

sqrt[3]{2}.

C

2.

D

frac{1}{sqrt[3]{2}}.

E

frac{3}{sqrt[3]{4}}.

Gabarito:

frac{3}{sqrt[3]{4}}.



Resolução:

y = x^2 + frac{1}{x}

Média aritmética é maior que ou igual à média geométrica:

frac{x^2+frac{1}{x}}{2}geqsqrt{x^2cdotfrac{1}{x}}=sqrt{x}Rightarrow x^2+frac{1}{x}geq2sqrt{x}

Mas o que nós queremos é descobrir a expressão de y maior que ou igual a um número real independente de x, ou seja, que não tenha x. Para isto, na média geométrica o x ao quadrado deve multiplicar uma fração como 1 sobre x ao quadrado para que os x ao quadrado se cancelem e obtenhamos um valor numérico. Então, o ideal seria uma multiplicação do tipo x2 vezes 1/x vezes 1/x, que seria a média geométrica de três termos. Mas aí na média aritmética nós não obteríamos um valor igual a y. Agora se fizermos uma simples mudança como 2 vezes x2 vezes 1/x vezes 1/x dentro da média geométrica obtemos o que queremos:

frac{2x^2+frac{1}{x}+frac{1}{x}}{3}geqsqrt[3]{2x^2cdotfrac{1}{x}cdotfrac{1}{x}}=sqrt[3]{2}Rightarrow 2left(x^2+frac{1}{x} ight )geq3cdotsqrt[3]{2}Rightarrow x^2+frac{1}{x}geqfrac{3sqrt[3]{2}}{2}Rightarrow y=x^2+frac{1}{x}geq3cdotsqrt[3]{frac{2}{8}}Rightarrow ygeqfrac{3}{sqrt[3]{4}}

A alternativa correta é, portanto, a Letra E.

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