Questão 38849

ITA 2019

Matemática

Qual é o ponto máximo da função $f(x)=x cdot (2-x)^3$ , sendo $x epsilon (0,2)$ ?

Sugestão: Desigualdade das médias.

$(frac{1}{3},frac{27}{16}).$

$(frac{1}{2},frac{27}{16}).$

$(frac{1}{3},frac{1}{2}).$

$(frac{1}{4},frac{27}{15}).$

Gabarito:

$(frac{1}{2},frac{27}{16}).$

Resolução:

Por desigualdade das médias:

MA>=MG

$frac{3x + 3(2-x)}{4} geq sqrt[4]{3x cdot (2-x)^{3}}$

$frac{6}{4} geq sqrt[4]{3x cdot (2-x)^3}$

$(frac{3}{2})^4 geq 3x cdot (2-x)^3$

$frac{27}{16} geq x(2-x)^{3}$

Então a função f(x) é sempre menor ou igual a 27/16, logo 27/16 é o valor máximo.

No ponto em que a função é máxima as médias são iguais, logo todos os termos das médias são iguais

3x = 2-x --> x = 1/2 é a abscissa do ponto máximo.

Utilizando cálculo:

O ponto de máximo da função acontece nos pontos críticos(f'(x) =0) da função derivada de f em relação a x.

Expandindo a função temos f(x) = x(2-x)³.

A derivada de f em relação a x será f'(x) = (2-x)³ - 3x(2-x)².

Essa derivada será 0 quando 3x = 2-x, logo x =1/2.

Assim ao substituir na função temos f(1/2) = (1/2)*(3/2)³ = 27/16.

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