Questão 38850
Se a soma de 𝑛 números reais positivos é igual a uma constante 𝑚, prove que o produto desses números será máximo quando eles forem iguais e determine produto máximo em função de 𝑚.
Dica: Desigualdade das médias.
Produto máximo:
Produto máximo:
Produto máximo:
Produto máximo:
Gabarito:
Produto máximo:
Resolução:
Pela desigualdade da média, temos que, sendo x1, x2, x3, ..., xn os n números, tem-se que:
Sabendo que a soma é igual a m e o produto igual a p, temos que:
Sendo todos os números positivos, podemos elevar a inequação acima à n-ésima potência sem alterar a desigualdade:
Vemos então que o produto é menor ou igual à (m/n)n, logo o valor máximo de p é (m/n)n.
Sabendo que a igualdade, na desigualdade das médias, só ocorre quando todos os termos são iguais. Assim, o produto p é máximo quando todos os termos são iguais.