Questão 46958

ITA 2019

Matemática

(ITA 2019 - adaptado) As soluções reais da equação:

$sen^6x+cos^6x=frac{7}{12}$ , são dadas por:

$x=pm arctg(frac{sqrt{30}}{6})+ 2npi$ , n pertence aos inteiros.

$x=pm arccos(frac{sqrt{6}}{6})+ npi$ ou $x=pm arccos(frac{sqrt{30}}{6})+ npi$ , n pertence aos inteiros.

$x=pm arccos(frac{sqrt{6}}{6})+ 2npi$ ou $x=pm arccos(frac{sqrt{30}}{6})+ 2npi$ , n pertence ao inteiros.

$x=pm arccos(frac{sqrt{6}}{6})+ 2npi$ ou $x=pm arcsen(frac{sqrt{30}}{6})+ 2npi$ , n pertence aos inteiros.

$x=pm arcsen(frac{sqrt{6}}{6})+ 2npi$ ou $x=pm arcsen(frac{sqrt{30}}{6})+ 2npi$ , n pertence aos inteiros.

Gabarito:

$x=pm arcsen(frac{sqrt{6}}{6})+ 2npi$ ou $x=pm arcsen(frac{sqrt{30}}{6})+ 2npi$ , n pertence aos inteiros.

Resolução:

$sen^6x+cos^6x=frac{7}{12}$

Fazendo o desenvolvimento do produto notável (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab²+ b³ temos que

$sen^6x+cos^6x=frac{7}{12}\\ (sen^2x+cos^2x)^3= sen^6x + cos^6x + 3sen^2xcos^4x+3sen^4xcos^2x$

$(sen^2x+cos^2x)^3= frac{7}{12}+3sen^2x:cos^2(sen^2x+cos^2x)\\como:(sen^2x+cos^2x)=1: temos:\\1^3=frac{7}{12}+3sen^2x:cos^2x::(I)$

$cos^2x+sen^2x=1 ightarrow cos^2x=1-sen^2x::(II)$

Substituindo (II) em (I)

$1=frac{7}{12}+3sen^2x(1-sen^2x)$

Chamamos $sen^2x=K$

$1=frac{7}{12}+3K(1-K)\\multiplicando:ambos:os:lados:por:12:\\12=7+36K-36K^2\\36K^2-36K+5=0\\Delta =36^2-4cdot 5cdot 36=6^2cdot 4^2\\k=frac{36pm 24}{2cdot 36}\\K=frac{1}{2}pm frac{1}{3}\\K=frac{5}{6}:ou frac{1}{6}$

Para

$\sen^2x=frac{5}{6}\\senx=pm sqrt{frac{5}{6}}\\\x=arcsensqrt{frac{5}{6}}+kpi :: ou::arcsensqrt{frac{5}{6}}+pi (frac{1}{2}+k)$

Para

$\sen^2x=frac{1}{6}\\senx=pm sqrt{frac{1}{6}}\\x=arcsensqrt{frac{1}{6}}+kpi :: ou:2pi -:arcsensqrt{frac{1}{6}}+kpi$

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