Questão 1

ITA 2020

Física

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Considere g como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10 m/s².

Considere uma teoria na qual a força de interação entre duas "cargas generalizadas" $q_1$ e $q_2$ em universos N-dimensionais é expressa por $F_e=q_iq_2/(kr^{N-1})$ , em que é uma constante característica do meio. A teoria também prevê uma força entre dois "polos generalizados" $p_1$ e $p_2$ expressa por $F_m=p_1p_2/(mu r ^{N-1})$ , na qual $mu$ , é outra constante característica do meio. Sabe-se ainda que um polo $p$ pode interagir com uma corrente de carga, $i$ , gerando uma força $F=ip/(r^{N-2})$ . Em todos os casos, $r$ representa a distância entre os entes interagentes. Considerando as grandezas fundamentais massa, comprimento, tempo e corrente de carga, assinale a alternativa que corresponde à fórmula dimensional de $kmu$ :

$L^2T^{-2}$

$L^{-2}T^{2}$

$L^{-2}T^{-2}$

$L^{1-N}T^{2}$

$L^{-2}T^{N-1}$

Gabarito:

$L^{-2}T^{2}$

Resolução:

Vamos fazer a análise dimensional das 3 expressões, lembrando que elas tem que ter a mesma dimensão final.

$F_e = frac{q^2}{kr^{N-1}}$

$F_m = frac{p^2}{mu r^{N-1}}$

A terceira expressão vamos escrever usando $i = frac{q}{t}$ , e usando $r^{N-2} = frac{r^{N-1}}{r}$ ;

$F = frac{qpr}{tr^{N-1}}$

Como as expressões tem que ter a mesma dimensão final então podemos dizer que $[F_e]=[F_m]=[F]$

Substituindo $r^{N-1} = x$

$\ [F] = frac{[q][p][r]}{[t][x]} (I) \\\ \ [F_e] = frac{[q][q]}{[k][x]} (II) \\\ [F_m] = frac{[q][q]}{[mu][x]} (III)$

Comparando I e II:

$\ [k] = frac{[q][t]}{[p][r]} (IV)$

Comparando I e III:

$\ [mu] = frac{[p][t]}{[q][r]} (V)$

Para encontrar a dimensão de $[kmu]$ basta multiplicar IV e V.

$[kmu] = frac{[t][t]}{[r][r]} = L^{-2}t^2$

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