Questão 6

ITA 2020

Física

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Uma pequena esfera com peso de módulo $p$ é arremessada verticalmente para cima com velocidade de módulo $V_o$ a partir do solo. Durante todo o percurso, atua sobre a esfera uma força de resistência do ar de módulo $F$ constante. A distância total percorrida pela esfera após muitas reflexões elásticas com o solo é dada aproximadamente por:

$frac{V_o^2(P-F)}{2gF}$

$frac{V_o^2(P+F)}{2gF}$

$frac{2V_o^2P}{gF}$

$frac{V_o^2P}{2gF}$

$frac{V_o^2P}{gF}$

Gabarito:

$frac{V_o^2P}{2gF}$

Resolução:

Na subida da esfera temos atuando sobre o corpo o peso e a força F ambas no mesmo sentido, portanto:

$F+P = malpha$

$alpha = frac{F+P}{m}$

Calculando por Torricelli a distância percorrida durante a subida:

$V^{2} = V_{0}^{2} + 2alphaDelta s$

$0 = V_{0}^{2}-2(frac{F+P}{m})H_{1}$

$H_{1} = frac{mV_{0}^{2}}{2(F+P)}$

Portanto, a distância total percorrida na subida e descida será 2H₁:

$D_{1} = 2H_{1} = frac{mV_{0}^{2}}{F+P}$

Agora vamos analisar a descida da esfera, onde a força F e o peso terão sentidos contrários:

$F-P = meta$

$eta = frac{P-F}{m}$

Distância percorrida na descida:

$V_{1}^{2} = 2eta H_{1}$

$H_{1} = frac{mV_{1}^{2}}{2(P-F)}$

Comprando as duas equações:

$frac{mV_{0}^{2}}{2(F+P)} = frac{mV_{1}^{2}}{2(P-F)}$

$frac{V_{1}^{2}}{V_{0}^{2}} = frac{P-F}{P+F}$

A distância total percorrida após a primeira colisão será:

$D_{1} = 2H_{2} = frac{mV_{1}^{2}}{F+P}$

Assim, construímos a relação:

$frac{D_{2}}{D_{1}} = frac{V_{1}^{2}}{V_{0}^{2}}$

Conclui-se que:

$frac{D_{2}}{D_{1}} = frac{P-F}{P+F}$

A distância total percorrida para um número grande de colisões será a soma de uma progressão geométrica, onde:

$a_{1} = frac{mV_{0}^{2}}{(F+P)}$

$q = frac{P-F}{F+P}$

$S_{infty} = frac{a_{1}}{1-q} = frac{frac{mV_{0}^{2}}{(F+P)}}{1 - frac{P-F}{P+F}}$

$S = frac{PV_{0}^{2}}{2gF}$

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Considere g como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10 m/s2. Considere uma teoria na qual a força...

Ver questão

Questão 4

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Por uma mangueira de diâmetro flui água a uma velocidade de 360 m/min, conectado na sua extremidade a 30 outras mangueiras iguais entre si, de diâmetro...

Ver questão

Questão 5

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Um satélite artificial viaja em direção a um planeta ao longo de uma trajetória parabólica. A uma distância desse corpo cele...

Ver questão

Questão 8

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Num ambiente controlado, o período de um pêndulo é medido a uma temperatura . Sendo o coeficiente de dilatação linear do fio do pê...

Ver questão