Questão 9

ITA 2020

Física

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Uma certa quantidade de gás com temperatura inicial $T_o$ , pressão $P_o$ e volume $V_o$ , é aquecida por uma corrente elétrica que flui por um fio de platina num intervalo de tempo $Delta t$ . Esse procedimento é feito duas vezes: primeiro, com volume constante $V_o$ e pressão variando de $P_o$ para $P_1$ e, a seguir, com pressão constante $P_o$ e volume variando de $V_o$ para $V_1$ . Assinale a alternativa que explicita a relação $C_p/C_v$ do gás.

$frac{frac{P_0}{P_1}-1}{frac{V_0}{V_1}-1}$

$frac{frac{P_1}{P_0}-1}{frac{V_1}{V_0}-1}$

$frac{frac{2P_0}{P_1}-1}{frac{V_0}{V_1}-1}$

$frac{frac{2P_1}{P_0}-1}{frac{V_1}{V_0}-1}$

$frac{frac{P_1}{P_0}-1}{frac{2V_1}{V_0}-1}$

Gabarito:

$frac{frac{P_1}{P_0}-1}{frac{V_1}{V_0}-1}$

Resolução:

Podemos definir que nos dois casos existe a mesma transferência de calor Q, logo vamos analisar os dois casos:

1° Caso - Transformação isovolumétrica

$Q_V = n.c_v . Delta T$

Lembrando a lei dos gases ideias temos:

$frac{P_o.V_o}{T_o } = n.R Rightarrow T_o = frac{P_o .V_o}{n.R}$

COm isso substituindo na fórmula de calor temos:

$\ Q_V = n.c_v . (T_f-T_o)Rightarrow Q_V= n.c_v. ( frac{P_1 .V_o}{n.R}- frac{P_o .V_o}{n.R}) \ \ Q_V= frac{c_v.V_o}{R}(P_1-P_o) Rightarrow Q_v= frac{c_v.P_o.V_o}{R}(frac{P_1}{P_o}-1)$

2° caso- Transformação isobárica

$Q_P = n.c_p . Delta TRightarrow Q_P = n.c_p .(T_f-T_o)$

Fazendo a mesma substituição feita no primeiro caso temos:

$\ Q_P = n.c_p . Delta TRightarrow Q_P = n.c_p .(frac{P_o .V_1}{n.R}- frac{P_o .V_o}{n.R}) \ \ Q_P= frac{c_P.P_o}{R}(V_1 -V_o) Rightarrow Q_P= frac{c_P.P_o.V_o}{R}(frac{V_1 }{V_o}-1)$

Fazendo assim Qp=Qv

$\ frac{c_v.P_oV_o}{R}(frac{P_1}{P_o}-1)= frac{c_P.P_o.V_o }{R}(frac{V_1 }{V_o}-1) Rightarrow frac{c_P}{c_V}=frac{(frac{P_1 }{P_o}-1)}{(frac{V_1}{V_o}-1)}$

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