Questão 13

ITA 2020

Física

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Três esferas idênticas de massa m, carga elétrica Q e dimensões desprezíveis, são presas a extremidades de fios isolantes e inextensíveis de comprimento l. As demais pontas dos fios são fixadas a um ponto P, que sustenta as massas. Na condição de equilíbrio do sistema, verifica-se que o ângulo entre um dos fios e a direção vertical é $heta$ , conforme mostra a figura. Sendo $epsilon_0$ a permissividade elétrica do meio, o valor da carga elétrica q é dada por

$lsqrt{12pi epsilon_0mgsen heta cos heta}$

$lsqrt{4pi epsilon_0mgtg heta sqrt3}$

$lsen hetasqrt{4pi epsilon_0mgtg heta sqrt3}$

$lsen hetasqrt{frac{4pi epsilon_0mgtg heta}{sqrt3}}$

$lsen hetasqrt{4pi epsilon_0mgtg heta}$

Gabarito:

$lsen hetasqrt{4pi epsilon_0mgtg heta sqrt3}$

Resolução:

Primeiro vamos analisar a figura, observando as forças e as relações trigonométricas:

Analisando o triângulo ACO, podemos fazer a seguinte relação:

$AC= 2.d .cos(30)$

Mas analisando o triângulo APO temos:

$R = l. sen( heta)$

Logo a distância entre as cargas é dado por:

$AC=AB=BC = 2.l.sen( heta).cos(30) Rightarrow l. sqrt 3 .sen( heta).$

Agora olhando uma das cargas, por exemplo, a que está localizada no ponto B temos que a força resultante (elétrica) que atua nela devido as outras cargas é dado por:

$F_r ^2=F^2 +F^2 +2.(F).(F).cos(30) Rightarrow F_R = 3F sqrt 3$

Agora vamos analisar as outras forças que atuam na partícula:

Para que a carga esteja em equilíbrio temos a seguinte relação:

$\ T_y = P Rightarrow T.cos( heta) =m.g (I) \ \ T_x = F_r Rightarrow T.sen( heta) = 3F sqrt 3 (II)$

Dividindo a equação (II) pela (I) temos que:

$tg( heta)= frac{3F. sqrt 3}{m.g} Rightarrow F = frac{m.g.tg( heta)}{3.sqrt 3}$

Como a FOrça F é a força eletroestática ela é definida pela Força de Coulomb

$F= frac{1}{4 pi varepsilon _o} . frac{Q^2}{AC^2} Rightarrow F= frac{1}{4 pi varepsilon _o} . frac{Q^2}{l^2.3 . sen^2( heta)}$

Substituindo assim na fórmula da força temos:

$frac{1}{4 pi varepsilon _o} . frac{Q^2}{l^2.3 . sen^2( heta)} = frac{m.g.tg( heta)}{3.sqrt 3}$

Isolando o Q vamos chegar na seguinte relação:

$lsen hetasqrt{4pi epsilon_0mgtg heta sqrt3}$

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