Questão 1

ITA 2020

Física

(ITA - 2020 - 2ª FASE)

Na figura, o anel de raio $R$ gira com velocidade angular ⍵ constante e dispõe de um alvo pontual $A$ que cruza o eixo $x$ no mesmo instante em que, do centro do anel, é disparado em sua direção um projétil puntiforme com velocidade $underset{v_0}{ ightarrow}$ . desconsiderando a resistência do ar,

a) Determine o ângulo θ, em relação ao eixo $x$ , em que o projétil acerta o alvo;

b) determine o intervalo de tempo $Delta t$ dispendido pelo projétil para acertar o alvo;

c) a velocidade angular $omega$ é determinada apenas por $heta$ e $Delta t$ ? Justifique.

Gabarito:

Resolução:

Deslocamento horizontal:

MU:

$\ v_x =frac{R cos heta}{t} \ eq1: t = R cos heta/v$

Deslocamento vertical:

MUV:

$\ h = h_o + v_qt + frac{gt^2}{2} \ como h_o = 0, v_q= 0 ,\ eq2: h = R sin heta = frac{gt^2}{2}$

Substituindo $eq1$ em $eq2$ :

$\ Rsin heta = frac{g}{2}frac{R^2cos^2 heta}{v^2} \ 2v^2sin heta = gRcos^2 heta \ 2v^2sin heta = gR(1-sin^2 heta) \ gRsin^2 heta + 2v^2sin heta - gR = 0$

Resolvendo a equação, obtemos:

$Delta = 4v^4 + 4(gR)^2, sin heta = frac{-v^2 pm sqrt{v^4+(gR)^2}}{gR}$

$heta_1 = sin^{-1}left[ frac{-v^2+sqrt{v^4+(gR)^2}}{gr} ight ]$ ,

$heta_2 = sin^{-1}left[ frac{-v^2-sqrt{v^4+(gR)^2}}{gr} ight ]$

Mas nesse caso não convém usar o $heta_2$ , pois $0^o leq heta leq 90^o$

Cálculo do tempo t:

$t = sqrt{frac{2Rsin heta}{g}}$

$t = sqrt{frac{2sqrt{v^4+(gR)^2}-2v^2}{g^2}}$

c) Não. $omega$ pode ser tão rápida quanto se queira para que o projétil se choque com $A$ após o disco girar $heta$ , ou girar $heta +2 pi$ ou $heta +4 pi$ , ou $heta +2n pi$ . Logo, além de $heta$ e $t$ precisamos do valor do número de voltas $n$

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