Questão 2

ITA 2020

Física

[RESOLUÇÃO - ITA 2020 - 2ª FASE - Nº2]

Dados:

$l=5,0m$

$d=1,5frac{g}{cm^3}=1500frac{kg}{m^3}$

$m=10kg$

$mu _{piso}=0,6sqrt{3}$

$y=?$

Resolução:

$frac{V_{tot}}{l_{tot}}=frac{V_{sub}}{l_{sub}}$

$V_{sub}=frac{V_{tot}}{l_{tot}}l_{sub}$

$V_{sub}=frac{frac{m}{d}}{l}frac{y}{sen30^o} = frac{2my}{dL}$

A soma dos momentos de força no Piso deve ser igual a 0.

Pelo equilíbrio das forças temos $F_{at} = N_2$ , na horizontal, e $P = E+N_1$ , na vertical.

$\sum M_P=0: P.frac{Lcos30^circ}{2}-E(frac{y}{2tg30^circ})-N_2Lcos30^circ=0 \\\ sum M_P = frac{PLsqrt3}{4} - E(frac{sqrt{3}y}{2}) - frac{F_{at}L}{2} = 0$

Isolando a força de atrito ficamos com:

$\F_{at} = frac{2}{L}(frac{PLsqrt3}{4} - frac{Esqrt3y}{2}) Rightarrow \\F_{at} = frac{Psqrt3}{2} - frac{Esqrt{3}y}{L}$

A força de atrito máxima é dada por:

$F_{at_{max}}=mu N_1 = 0,6sqrt3(P -E)$

Logo, para a prancha ficar equilibrada precisamos:

$\frac{Psqrt{3}}{2} - frac{Esqrt{3}y}{L} leq 0,6sqrt3(P -E)$

Substituindo na equação acima e lembrando que $P =mg$ e $E = frac{2mgy}{dL}$ temos:

$\frac{cancel{mgsqrt{3}}}{2} - frac{2cancel{mgsqrt{3}}y^2}{dL^2} leq 0,6cancel{mgsqrt3}(1 - frac{2y}{dL}) Rightarrow \\ 0,5 - frac{2y^2}{dL^2} leq 0,6 - frac{1,2y}{dL} Rightarrow \\\ frac{-4y^2}{75} + frac{2,4y}{15} -0,1 leq0$

Então precisamos encontrar as raízes da seguinte equação:

$\ frac{-4y^2}{75} + frac{2,4y}{15} -0,1 = 0$

$frac{-4y^2}{3} + frac{12}{3} -2,5 =0 Rightarrow -y^2 +3y - frac{7,5}{4}$

$y = frac{-3 pm sqrt{1,5}}{2}$

Portanto, o intervalo dos níveis de água em que é possível manter a prancha equilibrada é:

$[frac{-3 - sqrt{1,5}}{2} , frac{-3 + sqrt{1,5}}{2}, infty)$

Gabarito:

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