Questão 4

ITA 2020

Física

[RESOLUÇÃO - ITA 2020 - 2ª FASE - Nº4]

a) O satélite orbitará com o centro do planeta em um dos focos. Para ser possível completar uma volta no planeta, devemos ter que:

Logo, temos:

$\ a = 2R \ c = R \ e_{max} = frac{1}{2}$

b) A energia de tal órbita elíptica será de:

$E_M= frac{G.M.m}{2a}$

Olhando pelo desenho temos que a=2R, logo:

$E_{Me}= frac{G.M.m}{4R}$

Sendo essa energia quando o corpo estava na elipse.

A energia (trabalho) realizada pelos propulsores é dada pela diferença da energia mecânica do sistema. Então analisaremos a energia inicial (quando o movimento era circular) do mesmo:

$E_{Mo}= frac{mV_o^2}{2}-frac{G.M.m}{R}$

Só que a velocidade inicial pode ser calculada por:

$V_0= w.R Rightarrow V_0 = frac{ 2.pi.R}{T}$

Pois o movimento é circular. Ao substituir, temos:

$E_{Mo}= frac{m.4.pi^2 .R^2}{2T^2}-frac{G.M.m}{R}$

Então podemos dizer que o trabalho dos motores vale:

$\ W=E_{Me }- E_{Mo} Rightarrow W = -frac{G.M.m}{4R} -( frac{m.4.pi^2 .R^2}{2T^2}-frac{G.M.m}{R}) \ \ W= frac{3.G.M.m}{4R} - frac{m.4.pi^2 .R^2}{2T^2} Rightarrow frac{m.4.pi^2 .R^2}{2T^2}= frac{3.G.M.m}{4R}-W \ \ frac{2pi ^2.R^2}{T^2} =frac{3.G.M.}{4R}-frac{W}{m} Rightarrow frac{2pi ^2.R^2}{T^2} = frac{3.G.M.m -4W.R}{4R.m} \ \ frac{T^2}{2pi^2.R^2}= frac{4R.m}{3.G.M.m -4W.R} Rightarrow T^2= frac{8 pi^2R^3.m}{3.G.M.m -4W.R} \ \ \ T= sqrt{frac{8 pi^2R^3.m}{3.G.M.m -4W.R}}$

Gabarito:

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