Questão 10

ITA 2020

Física

[RESOLUÇÃO - ITA 2020 - 2ª FASE - Nº10]

$X ightarrow Y+v$

Podemos aqui conservar a energia e momentos relativísticos do sistema

1) Conservação da Energia

$underbrace{m_xcdot c^2}=sqrt{(m_ycdot c^2)^2+(underbrace{p_y}cdot c)^2}:::::::::+::::::::underbrace{(p_vcdot c)}$

Energia de X Momento relativístico de Y Energia do Neutrino

2) Conservação do momento relativístico

$overrightarrow{p_v}+overrightarrow{p_y}=0Rightarrow left | p_v ight | = left | p_y ight |=p$

(X em repouso no início) Logo:

$(m_xcdot c^2-pcdot c)^2=(m_ycdot c^2)^2+(pcdot c)^2$

$m_x^2cdot c^4-2cdot m_xcdot c^3p+cancel{p^2cdot c^2} =m_y^2cdot c^4+cancel{p^2cdot c^2}$

$p=frac{(m_x^2-m_y^2)cdot c}{2m_x}$

Com o momento de V podemos obter a sua velocidade

$p=gamma m_ycdot v = frac{m_ycdot v}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}=frac{(m_x^2-m_y^2)}{2m_x}$

$frac{v}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}= (frac{m_x}{m_y}-frac{m_y}{m_x})cdot frac{c}{2}=alpha$

Elevando ao quadrado:

$v^2=alpha ^2-alpha^2cdot frac{v^2}{c^2}$

$v^2(1+frac{alpha^2}{c^2}) = alpha^2$

$v=frac{alpha}{sqrt{1+frac{alpha^2}{c^2}}}$

Como $alpha$ é dado por:

$alpha=frac{m_x^2-m_y^2}{2cdot m_xcdot m_y}cdot c$

$\frac{alpha^2}{c^2} = frac{(m_x^2 -m_y^2)^2}{4cdot m_x^2 cdot m_y^2} Rightarrow \\\ frac{alpha^2}{c^2} = frac{m_x^4 - 2m_x^2m_y^2 + m_y^4}{}{4cdot m_x^2 cdot m_y^2}$

$\ 1 +frac{alpha^2}{c^2} = frac{m_x^4 + 2m_x^2m_y^2 + m_y^4}{}{4cdot m_x^2 cdot m_y^2}$

$\ 1 +frac{alpha^2}{c^2} = frac{(m_x^2 + m_y^2)^2}{(2cdot m_x cdot m_y)^2}$

Então, substituindo na equação para v, temos:

$v = frac{m_x^2-m_y^2}{2m_xm_ysqrt{frac{(m_x^2 + m_y^2)^2}{(2m_xmy)^2}}}cdot c$

$v=frac{m_x^2-m_y^2}{m_x^2 + m_y^2}cdot c$

Gabarito:

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