Questão 47

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

Considere a função real $f(x) = cos(x)cdot [cosfrac{(x)}{3}+2sen(x)]-sen(x);sen(frac{x}{3})-2$ , definida no intervalo $I = ]-4pi,4pi[$ . Sobre a equação $f(x) = 0$ , podemos afirmar que

não admite soluções em I.

admite uma única solução em I.

admite exatamente duas soluções em I.

admite exatamente três soluções em I.

admite exatamente quatro soluções em I.

Gabarito:

não admite soluções em I.

Resolução:

$cosx.[cosfrac{x}{3}+2senx]-senx.senfrac{x}{3}-2=0 ightarrow cosx.cosfrac{x}{3}-senx.cosfrac{x}{3}+2.senx.cosx=2$

$cos(x+frac{x}{3})+sen2x=2$

$cos(frac{4x}{3})+sen2x=2$

Sabemos que funções seno e cosseno possuem um intervalo que varia de -1 a 1, tendo valor máximo 1. Para essa equação, só só há solução se ambos os termos se igualarem a 1.

Logo, analisemos dentro do intervalo $I=]-4pi,4pi[$ :

1) $sen2x=1 ightarrow 2x=frac{pi}{2}+n.2pi ightarrow x=frac{pi}{4}+npi$ , $n$ inteiro.

Soluções: $frac{pm 13pi}{2},frac{pm 9pi}{2},frac{pm 5pi}{2},frac{pm pi}{2}$ .

2) $cos(frac{4x}{3})=1 ightarrow frac{4x}{3}=m.2pi ightarrow x=frac{3.m.pi}{2}$ , $m$ inteiro.

Soluções: $0, frac{pm 3pi}{2}, pm 3pi$

Ou seja, as soluções para $x$ são todas diferentes entre si

Portanto, não existe solução em $I$ para $f(x)=0$ .

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