Questão 2

Matemática

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Considere as seguintes matrizes:

$A = egin{bmatrix} 1 & -2\ -2 & 1 end{bmatrix}$ , $B = egin{bmatrix} 0 & 6\ 6 & 0 end{bmatrix}$ e $C = egin{bmatrix} 3 & 3\ 3 & 3 end{bmatrix}$

Determine os números $alpha epsilon mathbb{R}$ tais que a matriz $M= alpha^{2}A+ alpha B +C$ é invertível.

Gabarito:

Resolução:

$M=alpha^2 egin{bmatrix} 1 & -2\ -2 & 1 end{bmatrix}+alpha egin{bmatrix} 0 & 6\ 6 & 0 end{bmatrix}+ egin{bmatrix} 3 & 3\ 3 & 3 end{bmatrix}$

$M=egin{bmatrix} alpha^2+3 & -2alpha^2+6alpha+3 \ -2alpha^2+6alpha+3 & alpha^2+3 end{bmatrix}$

Veja que M é do tipo $M=egin{bmatrix} x & y \ y & x end{bmatrix}$ . Para M ser invertível:

$det(M)=egin{vmatrix} x & y\ y & x end{vmatrix} eq 0$

$x^2-y^2 eq 0$

$x^2 eq y^2$

$x eq pm y$

• $alpha^2+3 eq -2alpha^2+6alpha+3$

$3alpha^2 eq -6alpha$

$alpha^2 eq -2alpha$ → $alpha$ não pode ser 0 nem -2

• $alpha^2+3 eq 2alpha^2-6alpha-3$

$alpha^2-6alpha-6 eq 0$

$alpha eq frac{6 pm 2sqrt{15}}{2}$ → $alpha$ não pode ser $3+sqrt{15}$ nem $3-sqrt{15}$

Desse modo, encontramos os possíveis valores de $alpha$ :

$alpha in mathbb{R}-{ 0,-2,3 +sqrt{15}, 3-sqrt{15}}$

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