Questão 4

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Considere o polinômio $p(x) = x^{4} - x^{3} + x^{2}-x+1$ . Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio $q(x) = x^{10}-1$ por $p(x)$ e encontre todas as raízes complexas de $p(x)$ .

Gabarito:

Resolução:

1) $q(x)=x^{10}-1=(x^5-1)(x^5+1)$ → $x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$

$q(x)=(x^5-1)(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$

Assim, temos que:

$q(x)=(x^5-1)(x+1)p(x)$

$q(x)=(x^6+x^5-x-1)p(x)$

$q(x)=(x^6+x^5-x-1)p(x)+0$

Desse modo, concluímos que a divisão de $q(x)$ por $p(x)$ tem quociente igual a $x^6+x^5-x-1$ e resto igual a 0.

2) Note que o polinômio $p(x)$ é a soma de 5 termos da PG de razão $-x$ :

$p(x)=1-x+x^2-x^3+x^4=frac{(-x)^5-1}{-x-1}$

$p(x)=frac{x^5+1}{x+1}$

$x^5=-1$

$x^5=cis(pi)$

$x_k=cis(frac{pi+2kpi}{5})$ , $k=0,1,2,...$

$S=left { cisleft ( frac{pi}{5} ight ),cisleft ( frac{3pi}{5} ight ),cisleft ( pi ight ),cisleft ( frac{7pi}{5} ight ),cisleft ( frac{9pi}{5} ight ) ight }$

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