Questão 6

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Considere um triângulo ABC tal que $m(overline{AB})=4$ , $m(overline{AC})=5$ e BÂC = 60º . Seja D um ponto no lado $overline{AB}$ tal que $m(overline{AD}) = 1$ . Encontre o raio do círculo inscrito no triângulo BCD.

Gabarito:

Resolução:

Lei dos cossenos em ABC:

$x^2=4^2+5^2-2cdot frac{1}{2}cdot 4 cdot 5$

$x^2=16+25-20=21$

$x=sqrt{21}$

Lei dos cossenos em ACD:

$y^2=1^2+5^2-2cdot frac{1}{2}cdot 5 cdot 1$

$y^2=1+25-5=21$

$y=sqrt{21}$

Logo, o triângulo BCD é isósceles. E sua área é calculada da seguinte forma:

$h=sqrt{21-frac{9}{4}}=sqrt{frac{75}{4}}=frac{5sqrt{3}}{2}$

$A=frac{bh}{2}=frac{5sqrt{3}}{2}cdot frac{3}{2}=frac{15sqrt{3}}{4}$

Por fim, para encontrar o raio interno:

$A=p cdot R$ , em que $p$ é o semi-perímetro

$frac{15sqrt{3}}{4}=frac{3+2sqrt{21}}{2}R$

$R=frac{15sqrt{3}}{2(3+2sqrt{21})}cdot frac{(3-2sqrt{21})}{(3-2sqrt{21})}$

$R=frac{45sqrt{3}-90sqrt{7}}{-150}$

$R=frac{6sqrt{7}-3sqrt{3}}{10}$

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