Questão 7

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Determine os pontos P pertencentes à elipse E definida pela equação $frac{x^{2}}{4}+ y^{2}=1$ , tais que os segmentos de reta que ligam P aos focos de E formam um ângulo de 60º.

Gabarito:

Resolução:

$frac{x^{2}}{4}+ y^{2}=1$ → $a=2$ , $b=1$ e $c=sqrt{3}$

G e F são os focos da elipse E

Medidas dos lados do triângulo PGF:

• $PG^2=(x-sqrt{3})^2+(y-0)^2$

• $PF^2=(x+sqrt{3})^2+(y-0)^2$

• $GF^2=(2sqrt{3})^2=12$

Propriedade da elipse:

$PG+PF=2a=4$

$PG^2+2PGcdot PF+PF^2=16$ → $PF cdot PG =frac{ 16-PG^2-PF^2}{2}$

Lei dos cossenos em PGF:

$GF^2=GP^2+PF^2-2 cdot PG cdot PF cdot frac{1}{2}$

$GF^2=GP^2+PF^2-PG cdot PF$

Substituindo a equação anterior:

$GF^2=GP^2+PF^2-frac{ 16-PG^2-PF^2}{2}$

$12=frac{2GP^2+2PF^2}{2}-frac{ 16-PG^2-PF^2}{2}$

$12=frac{3GP^2+3PF^2-16}{2}$

$PG^2+PF^2=frac{40}{3}$

$(x-sqrt{3})^2+y^2+(x+sqrt{3})^2+y^2=frac{40}{3}$

$2x^2+2y^2+6=frac{40}{3}$

$x^2+y^2=frac{11}{3}$

Como ponto P pertence à elipse, temos que $frac{x^{2}}{4}+ y^{2}=1$ :

$x^2-frac{x^2}{4}=frac{11}{3}-1$

$frac{3x^2}{4}=frac{8}{3}$

$x=pm frac{4sqrt{2}}{3}$ e $y=pm frac{1}{3}$

Pontos possíveis: $P=left { left ( frac{4sqrt{2}}{3},frac{1}{3} ight ), left (- frac{4sqrt{2}}{3},frac{1}{3} ight ), left (- frac{4sqrt{2}}{3},-frac{1}{3} ight ), left ( frac{4sqrt{2}}{3},-frac{1}{3} ight ) ight }$

Questões relacionadas

Questão 37

(ITA - 2023 - 1ª FASE) Considere tal que existe um único número real que satisfaz a equação . Então, é

Ver questão

Questão 38

(ITA - 2023 - 1ª FASE) Sejam e . Para cada , definimos e . Então, é

Ver questão

Questão 39

(ITA - 2023 - 1ª FASE) Considere as afirmações: I. Se P é um polígono convexo de n lados iguais, então P é um polígono regular. II. Seja P um p...

Ver questão

Questão 40

(ITA - 2023 - 1ª FASE) A média harmônica de n números reais positivos é Sabendo que o polinômio possui três raízes reais po...

Ver questão