Questão 3
ITA 2024
(ITA - 2024)
Uma esfera de raio R possui uma cavidade esférica interna de raio R/2 conforme mostra a figura. A cavidade tangencia internamente a esfera no seu ápice A, que está a uma altura H = 15R do ponto S, localizado no solo verticalmente abaixo. Os dois centros de curvatura e o ponto A se encontram na linha vertical que passa por S. A esfera é então abandonada de seu repouso em queda livre, atinge o solo em Se inverte seu movimento.
Considerando que a distribuição de massa é homogênea na região sólida do objeto e que o coeficiente de restituição da colisão é 0,80, a altura máxima alcançada pelo centro de massa da esfera após a colisão é aproximadamente igual a:
7,7R.
8,5R.
9,3R.
10,1R.
10,9R.
Gabarito:
9,3R.
Resolução:
Podemos começar calculando qual altura ficará o ponto mais baixo da esfera após a colisão.
Antes da colisão ela tem uma velocidade v, e após a colisão terá uma velocidade v'. Podemos calcular v' como:
Na onde h' será a altura final do ponto mais baixo da esfera:
A altura do ponto mais baixo antes da colisão era 13R (o ponto mais alto estava a uma altura de 15R e o ponto mais baixo vai estar 2R abaixo do ponto mais alto), sendo assim:
Agora podemos vamos calcular o centro de massa:
Porém não temos informações quanto a massa, mas sabemos que a massa de uma esfera pode ser dada como:
Como temos que é uma constante podemos chamar isso tudo de k, facilitando nossos cálculos. Sendo assim o novo centro de massa será:
onde temos que R3 é o centro de massa da esfera menor em relação ao ponto mais baixo da esfera maior.
Substituindo:
Sendo esse o novo centro de massa. Sendo então, a altura que o centro de massa subiu, a altura que a esfera voltou após a colisão (h') somada a posição do centro de massa:
Letra C