Questão 6761

MACKENZIE 1977

Matemática

(MACK - 77) A equação x² - 4x + 3 + log (k - 1) = 0 tem raízes reais de sinais contrários, se e somente se:

1 < k < 1 + 10^-3

0 < k < 10^-3

k > 1 + 10^-3

0 < k < 1 + 10^-3

Gabarito:

1 < k < 1 + 10^-3

Resolução:

1) Analisando as condições de existência:

k - 1 > 0
k > 1

2) Se as raízes têm sinais contrários, então podemos deduzir que há duas raízes, ou seja, ∆ > 0:

$Delta =b^2-4ac$

$Delta =(-4)^2-4 cdot 1 cdot (3+log(k-1))$

$(-4)^2-4 cdot 1 cdot (3+log(k-1))>0$

$16-4 cdot (3+log(k-1))>0$

$16-12-4log(k-1)>0$

$-4log _{10}left(k-1 ight)>-4$

$log _{10}left(k-1 ight)<1$

$log _{10}left(k-1 ight)<log _{10}left(10 ight)$

$k-1<10$

$k<11$

3) Com isso, temos que

$1<k<11$

4) Para que as raízes tenham SINAIS CONTRÁRIOS, o produto das raízes têm que ser negativo, logo f(0) < 0.

$\ 0 - 4.0 + 3 + log(k - 1) < 0 \ log(k - 1) < -3 \ k - 1 < 10^{-3} \ k < 1 + 10^{-3}$

5) Logo, 1 < k < 1 + 10^-3

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