Questão 12014

MACKENZIE 1998

Matemática

(Mackenzie 1998) Se , então x e y são os possíveis valores reais de t tais que:

A

t² - 27 t + 126 = 0.

B

t² + 27 t + 126 = 0.

C

t² - 21 t - 126 = 0.

D

t² + 21 t - 126 = 0.

E

t² - 26 t - 27 = 0.

Gabarito:

t² - 27 t + 126 = 0.

Resolução:

Primeiramente vamos estudar :

Da primeira equação, $2^x=8^{y+1},,,8=2^3Rightarrow 2^x=2^{3y+3}Rightarrow x=3y+3$ . Da segunda equação, $9^y=3^{x-9},,,9=3^2Rightarrow 3^{2y}=3^{x-9}Rightarrow 2y=x-9$ . Como $x=3y+3$ , então:

$2y=x-9Rightarrow 2y=left(3y+3 ight )-9Rightarrow 2y-3y=3-9Rightarrow -y = -6Rightarrow y = 6$

Agora descobrimos x, $x=3y+3=3cdot6+3=21$ .

Então a solução é $x=21$ e $y=6$ .

Nas equações presentes nos itens vemos que são somente equações quadráticas. O que podemos fazer é analisar a soma das raízes e o produto das raízes em cada equação e ver se estes resultados batem com a soma $x+y=21+6=27$ e $xcdot y=21cdot6=126$ .

Letra A:

$t_1+t_2=frac{-b}{a}=frac{-left(-27 ight )}{1}=27$ => OK!

$t_1cdot t_2=frac{c}{a}=frac{126}{1}=126$ => OK!

Então poderia ser a Letra A. Mas vamos primeiramente ver se as outras alternativas são possíveis!

Letra B:

$t_1+t_2=frac{-b}{a}=frac{-27}{1}=-27$ => NÃO PODE!

Então não poderia ser a Letra B.

Letra C:

$t_1+t_2=frac{-b}{a}=frac{-left(-21 ight )}{1}=21$ => NÃO PODE!

Então não poderia ser a Letra C.

Letra D:

$t_1+t_2=frac{-b}{a}=frac{-21}{1}=-21$ => NÃO PODE!

Então não poderia ser a Letra D.

Letra E:

$t_1+t_2=frac{-b}{a}=frac{-left(-26 ight )}{1}=26$ => NÃO PODE!

Então não poderia ser a Letra E.

A alternativa correta é, portanto, a Letra A.

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