Questão 7380

MACKENZIE 1998

Matemática

(Mackenzie 1998) A equação (x + ky - 3)² + (4y - x + 2p)² = 0, nas incógnitas x e y, com k e p números reais, admite inúmeras soluções. Então, k

p vale:

-6

-8

-10

-12

-14

Gabarito: -6

Resolução:

$\\ (x+ky-3)^2+(4y-x+2p)^2=0;;Rightarrow;; ext{A soma de dois quadrados (números sempre não negativos!) só é zero se ambos os quadrados forem nulos. Logo:} \\ (i);;x+ky-3=0;;Rightarrow;;y=-frac{1}{k}x+frac{3}{k};; ext{(reta)} \\ (ii);;4y-x+2p=0;;Rightarrow;;y=frac{1}{4}x-frac{p}{2};; ext{(reta)} \\ ext{Como a equação original admite inúmeras soluções em } x ext{ e em } y ext{, então as retas são as mesmas (paralelas coincidentes). Portanto:} \\ -frac{1}{k}=frac{1}{4} ext{ e } frac{3}{k}=-frac{p}{2};;Rightarrow;;k=-4 ext{ e } -frac{3}{4}=-frac{p}{2};;Rightarrow;;k=-4 ext{ e } p=frac{3}{2}\\$

$\\ herefore;;oxed{kcdot p=-4cdotfrac{3}{2}=-6}$

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