Questão 7379
MACKENZIE 2001
(Mackenzie 2001) Com relação ao sistema
k ∈ IR, considere as afirmações:
I) É indeterminado para um único valor de k.
II) Sempre admite solução, qualquer que seja k.
III) Tem solução única, para um único valor de k.
Das afirmações acima:
Gabarito:
nenhuma está correta.
Resolução:
Para que o sistema admita uma única solução, precisamos que a matriz A de coeficientes tenha determinante, diferente de zero. Sendo assim, temos:
Calculando a determinante, teremos:
Como queremos que a determinante seja diferente de zero, temos:
Já, para que o sistema possua infinitas soluções, precisamos olhar para a matriz aumentada. De maneira que ainda existam soluções, assim temos:
Como já sabemos para quais valores de k o sistema tem solução única, precisamos olhar para os valores em que o sistema não tem.
Seja k = 1, teremos:
Com essa matriz é fácil de observamos que uma incongruência, já que temos a mesma soma de x e y resultando em valores diferentes, dessa forma concluímos que o sistema é impossível para k = 1.
Seja k = -1, temos:
Multiplicando a segunda linha por (-1), obtemos:
De maneira similar ao que falamos anteriormente, podemos ver de prontidão que esse sistema será impossível.
Portanto, o sistema é impossível e indeterminado para k = 1 e k = -1.
Assim concluímos que nenhuma das alternativas está correta.