Questão 7375

MACKENZIE 2003

Matemática

(Mackenzie 2003) O sistema

não admite solução para, exatamente, 2 valores de a.

não admite solução para, exatamente, 3 valores de a.

admite solução única para todos os valores positivos de a.

admite mais de uma solução para, exatamente, 2 valores de a.

admite mais de uma solução para, exatamente, 3 valores de a.

Gabarito:

não admite solução para, exatamente, 3 valores de a.

Resolução:

O sistema da questão pode ser escrito na forma matricial, da forma $large A*X=B$

(Material teórico para aula: Sistemas Lineares - Método Matricial)

Observe:

$large egin{pmatrix} a & 2 & 1\ 2 & a & -1\ 1 & 1 & a end{pmatrix}*egin{pmatrix} x\ y\ z end{pmatrix}=egin{pmatrix} 0\ 1-a\ 1 end{pmatrix}$

Sendo $D$ o determinante da matriz de coeficientes do sistema, temos, utilizando a regra de Cramer:

Se $D eq 0$ , temos um sistema possível e determinado.

Então, analisando o determinante $D$ , temos:

$D = a^{3}-2 +2-a-4a+a ightarrow D=a^{3}-4a ightarrow D=a*(a+2)*(a-2)$

Logo, para que $D$ se torne nulo, é necessário que $a = 0$ ou $a = +2$ ou $a=-2$ .

Logo, para 3 valores de $a$ o sistema não admite solução única.

Ainda é necessário verificar o que acontece quando $a$ assume algum desses valores. Pode ser que para algum deles haja raízes múltiplas. Vamos então escalonar o sistema. Para isso, trocaremos a primeira com a última linha do sistema.

$left{egin{matrix} x &+ y & +az=;;;1;;;;;\ 2x &+ ay & -z=1-a\ ax &+ 2y& +z=;;;0;;; end{matrix} ight.$ $ightarrowleft{egin{matrix} x &+ y & +az=1\ & (a-2)y & +(-2a-1)z=-1-a\ & (2-a)y& +(1-a^2)z=-a end{matrix} ight.$ $ightarrowleft{egin{matrix} x &+ y & +az=1\ & (a-2)y & +(-2a-1)z=-1-a\ & & (-a^{2}-2a)z=-1-2a end{matrix} ight.$

Observe que se $a=0$ , a última equação chega num absurdo. Logo, $a=0$ não fornece nenhuma solução.

Se $a=2$ , temos $z=frac{5}{8}$ . Substituindo esse valor na segunda equação do sistema escalonado, temos: $(a-2)y+(-1-2a)z=-1-a ightarrow(2-2)y+(-1-2*2)*frac{5}{8}=-1-2 ightarrow$ $frac{-25}{8}=-3$ ABSURDO

Logo, $a=2$ também não fornece nenhuma solução.

Se $a=-2$ , temos um absurdo na última equação. Logo, $a=-2$ também não fornece nenhuma solução.

Dessa forma, o sistema não admite soluções para os valores de $a$ descritos acima.

Gabarito: letra B

Questões relacionadas

Questão 6723

(MACKENZIE - 2003) O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas a seguir, deco...

Ver questão

Questão 6748

(Mackenzie 2003) Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f(x) = ax. O valor de g(g (-1))+f(g (3)) é:

Ver questão

Questão 6973

(MACKENZIE - 2003) Quando resolvida no intervalo [0; 2π], o número de quadrantes nos quais a desigualdade 2 cos x < apresenta soluções é:

Ver questão

Questão 7378

(Mackenzie 2003) As afirmações adiante referem-se ao sistema I) Existe um único valor de k para o qual o sistema admite mais de uma solução. II) Existe um único valor de k para o qual o sistema nã...

Ver questão