Questão 8017

MACKENZIE 2003

Matemática

(Mackenzie 2003) Se a equação x³ - 2bx² - x + b² = 0 tem duas raízes opostas, então um possível valor de b é:

-2

1/2

-1

-3

Gabarito:

Resolução:

1) Usaremos as Relações de Girard na equação cúbica para resolver esse problema:

Essa abordagem relaciona os coeficientes da equação cúbica ( “a“, “b“, “c” e “d“) com as respectivas raízes da função (x₁, x₂ e x₃). Equacionando, temos:

$\ x_1 + x_2 + x_3 = -frac{b}{a} \ \( x_1 cdot x_2) + ( x_1 cdot x_3 ) + ( x_2 cdot x_3 ) = frac{c}{a} \ \ x_1 cdot x_2 cdot x_3 = - frac{d}{a}$

2) Sabemos que x³ - 2bx² - x + b² = 0 tem duas raízes opostas, logo:

$\ x_1 + x_2 + x_3 = -frac{b}{a} \ \ alpha + (-alpha ) + r_3 = -frac{-2b}{1} \ \ alpha + (-alpha ) + r_3 =2b \ r_3 = 2b$

3) Como 2b é uma raiz, temos que:

$\ x^3 - 2bx^2 - x + b^2 = 0 \ (2b)^3 - 2b cdot (2b)^2 - (2b) + b^2 = 0 \ 2^3b^3-2^3b^3-2b+b^2=0 \ -2b+b^2 = 0 \ b^2-2b=0 \ b(b-2)=0 \ b_1=2,:b_2=0$

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