Questão 6792

PUC 1977

Matemática

(PUC-77) Se $A =egin{pmatrix}1 & 4 \ 1 & 2 end{pmatrix} e B = egin{pmatrix} 1 & 2 \ 1 & 1end{pmatrix}$ , então, a matriz X, de ordem 2, tal que AX = B, é:

$egin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & frac{1}{2} end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & frac{1}{3} end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & frac{1}{4} end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & frac{1}{5} end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & frac{1}{6} end{pmatrix}$

Gabarito:

$egin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & frac{1}{2} end{pmatrix}$

Resolução:

Resolução 1:

$egin{bmatrix} 1 &4 \ 1 &2 end{bmatrix}cdot egin{bmatrix} a &b \ c & d end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 &0 \ 0& 1 end{bmatrix}$

$egin{bmatrix} a+4c &b+4d \ a+2c& b+2d end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 &0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Montando as equações:

a + 4c = 1 (i)

a + 2c = 0 (ii)

b + 4d = 0 (iii)

b + 2d = 1 (iv)

Com (i) - (ii):

2c = 1 --->> c = 1/2

Com isso, a = -1

Com (iii) - (iv):

2d = -1 --->> d = -1/2

Com isso, b = 2

$X=A^{-1}cdot B$

$X=egin{bmatrix} -1 & 2\ frac{1}{2} & frac{-1}{2} end{bmatrix}cdot egin{bmatrix} 1 &2 \ 1& 1 end{bmatrix}=egin{bmatrix} -1+2 &-2+2 \ frac{1}{2}-frac{1}{2} & 1-frac{1}{2} end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 0\ 0& frac{1}{2} end{bmatrix}$

Resolução 2:

AX = B

$egin{bmatrix} 1 &4 \ 1 &2 end{bmatrix}cdot egin{bmatrix} a &b \ c & d end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 &2 \ 1& 1 end{bmatrix}$

$egin{bmatrix}1cdot :a+4c&1cdot :b+4d\ 1cdot :a+2c&1cdot :b+2dend{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 &2 \ 1& 1 end{bmatrix}$

$egin{bmatrix}:a+4c:&b+4d:\ ::a+2c&:b+2d:end{bmatrix}=egin{bmatrix}:1:&2:\ :::1&:1:end{bmatrix}$

$mathrm{Para:ter}:A=B: ightarrow :a_{ij}:=:b_{ij}:mathrm{para:todo}:ij$ , portanto:

$egin{bmatrix}a+4c=1\ b+4d=2\ a+2c=1\ b+2d=1end{bmatrix}:quad d=frac{1}{2},:b=0,:c=0,:a=1$

Logo,

$X=egin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & frac{1}{2} end{bmatrix}$

Questão 6792

PUC 1977

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