Questão 7149

UECE 2016

Matemática

(Uece 2016) Se V é uma matriz quadrada e n é um número natural maior do que um, define-se Com essa definição, para a matriz pode-se afirmar corretamente que o valor do determinante da matriz é igual a

2 x 2016.

2 x 2017.

2016 x 2016.

2016 x 2017.

Gabarito:

2016 x 2016.

Resolução:

Vamos calcular V², isso é bem simples de se fazer já que a matriz é 2x2. Temos:

V² = V*V = $egin{bmatrix} 1+0 &2+2 \ 0+0 & 0+1 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 &4 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Agora calculemos V³, que é V²*V:

V*V² = $egin{bmatrix} 1+0 &4+2 \ 0+0 & 0+1 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 &6 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Analogamente calculemos V⁴ = V*V³:

V*V³ = $egin{bmatrix} 1+0 &6+2 \ 0+0 & 0+1 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 &8 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Isso já é o suficiente para que percebamos que dado um n natural, temos:

Vⁿ = $egin{bmatrix} 1 &2n \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Quando fizermos a soma Y = V + V² + V³ + V⁴ + ... + V²⁰¹⁶, teremos:

$Y = egin{bmatrix} 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 &2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2*2016 \ 0 & 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2016 &2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2*2016 \ 0 & 2016 end{bmatrix}$ (os números 1 são somados 2016 vezes, pois há 2016 matrizes sendo somadas.

Calculando o determinante de Y, temos:

det(Y) = 2016*2016 - 0*(2+4+6+8+...+2*2016) = 2016*2016

Questões relacionadas

Questão 5989

(UECE - 2016) No retângulo PQRS, a medida dos lados PQ e QR são respectivamente 3m e 2m. Se V é um ponto do lado PQ tal que a medida do segmento VQ é igual a 1m e U é...

Ver questão

Questão 6561

(Uece 2016) Seja PQRS um trapézio isósceles cujas bases menor e maior são respectivamente os segmentos PQ e SR. Se M e N são respectivamente as projeções ortogonais de P e Q sobre SR e se a razão entr...

Ver questão

Questão 7224

(Uece 2016) O volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos X, da região do plano limitada pelo triângulo com vértices nos pontos (6,0), (8,0) e (8,9) é...

Ver questão

Questão 7466

(UECE - 2016) Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces triangulares. O número de arestas deste poliedro é

Ver questão