Questão 32363
UECE 2018
Matemática
(UECE - 2018) No triângulo XYZ o ponto D, no lado YZ, pertence à mediatriz do lado XZ. Se XD é a bissetriz do ângulo interno no vértice X e se a medida do ângulo interno em Y é 105 graus, então, a medida, em graus, do ângulo interno em Z é:
A
30
B
20
C
35
D
25
Gabarito:
25
Resolução:
Observe a figura a seguir:
= 105°
- DE é a mediatriz de XZ. Mediatriz é a reta perpendicular a um segmento de reta (neste caso, XZ) e divide este mesmo segmento no meio. A reta mediatriz de XZ se encontra em XZ no ponto E e se encontra em YZ no ponto D.
= n, n número real positivo. Logo,
= 2n
- Pela fórmula do somatório dos ângulos internos de um triângulo: 2n + 105° + m = 180° => m = 180° - 105° - 2n => m = 75° - 2n (I)
Pelo critério de congruência LAL (Lado, ângulo, lado), podemos afirmar que os triângulos e
são congruentes: lados XE = EZ e DE (em comum) e os ângulos retos (90°) em
e
.
Disso, temos que os ângulos e
são iguais. Assim, vem que m = n (II).
Substituindo (II) em (I), temos que m = 75º - 2m, então 3m = 75º, então m = 25º