Questão 58136

UFJF 2016

Matemática

(UFJF - 2016) São dados dois cones equiláteros C1 e C2 tais que a área total de C2 é o dobro da área total C1 e que o raio da base de C1 é 3 cm. Sabendo que em um cone equilátero, a geratriz é o dobro do raio da base, o volume do cone C2, em centímetros cúbicos, é:

A

$9sqrt{3}pi$

B

$9sqrt{10}pi$

C

$18sqrt{3}pi$

D

$18sqrt{6}pi$

E

$54sqrt{6}pi$

Gabarito:

$18sqrt{6}pi$

Resolução:

$A_{total;C2}=2(A_{total;C1})$
$r_{C1}=3cm$

$g=2r$

$pi(r_{C2})g_{C2}=2(pi(r_{C1})g_{C1})$
$pi(r_{C2})2r_{C2}=2(pi(r_{C1})2r_{C1})$
$r^{2}_{C2}=2r^{2}_{C1}$
$r_{C2}=r_{C1}sqrt{2}$
$r_{C2}=3sqrt{2}$

Calculando a altura do cone C2:
$(3sqrt{2})^{2}+h^{2}(=6sqrt{2})^{2}$
$h^{2}(=6sqrt{2})^{2}-(3sqrt{2})^{2}$
$h=sqrt{72-18}=sqrt{54}=3sqrt{6}$

$V_{C2}=frac{pi(3sqrt{2})^{2}cdot3sqrt{6}}{3}=18pisqrt{6}$

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