Questão 12267

UFMG 1990

Matemática

(UFMG - 1990) Na figura, AB é o diâmetro do círculo de centro O e C é um ponto da circunferência tal que o ângulo mede 30º.

Se AB = 6 cm, a área da região limitada pelas cordas BC e AB e pelo arco menor AC, em cm², é:

Gabarito:

Resolução:

$\\ (i) ext{ Veja que o ângulo AOC mede } 60^{circ} ext{, por causa do arco capaz. Assim, o ângulo BOC mede } 120^{circ} ext{ e o triângulo BOC é isósceles de base BC. Assim, a área } S ext{ pedida é igual à soma das áreas do triângulo BOC (} S_1 ext{) e do segmento circular OAC (} S_2 ext{). Portanto:} \\ S_1=frac{OBcdot OCcdot sen120^{circ}}{2}=frac{3cdot3cdotfrac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{9sqrt{3}}{4};cm^2\\ S_2=frac{1}{6}cdotpi R^2; ext{(pois esse segmento representa um sexto da área total da circunferência)} ;;Rightarrow;;S_2=frac{1}{6}cdotpicdot3^2;;Rightarrow;;S_2=frac{3pi}{2};cm^2\\ herefore;;oxed{S=S_1+S_2=(frac{9sqrt{3}}{4}+frac{3pi}{2});cm^2}$

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