Questão 42655

UFPR 2014

Matemática

(Ufpr 2014) Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como indica a figura abaixo.

Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro seja igual a $72 , pi$ .

$sqrt{13} - 2$

$3$

$3 sqrt 2$

$2 sqrt 5$

$4$

Gabarito:

$4$

Resolução:

[E]

1) No triângulo retângulo da figura temos: $mathrm{r^2 = 25 - x^2 (I)}$

2) O volume do prisma será dado por $mathrm{pi cdot r^2 cdot 2x = 72 pi Rightarrow r^2 cdot x = 36 (II)}$

3) Substituindo (I) em (II), temos:

$mathrm{left ( 25 - x^2 ight ) cdot x = 36 Rightarrow x^3 - 25 x + 36 = 0}$

4) Utilizando o teorema das raízes racionais concluímos que uma de suas raízes é 4.

$a_0=36,:quad a_n=1$

$mathrm{Os:divisores:de:}a_0:quad 1,:2,:3,:4,:6,:9,:12,:18,:36,:quad mathrm{Os:divisores:de:}a_n:quad 1$

$mathrm{Portanto,:verificar:os:seguintes:nacute{u}meros:racionais:quad }pm frac{1,:2,:3,:4,:6,:9,:12,:18,:36}{1}$

$frac{4}{1}mathrm{:acute{e}:a:raiz:da:express ilde{a}o,:portanto,:fatorar:}x-4$

5) Logo, a equação fatorada será da forma $mathrm{(x- 4), !(x^2 + 4x - 9) = 0}$

6) Logo, suas raízes são $x = 4, x = -2 + sqrt{13}$ ou $x = -2 - sqrt{13}$ .

7) Logo, o maior valor de x é 4.

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