Questão 6
UFPR 2018
(UFPR - 2018 - 2ª FASE) O processo de encontrar um polinômio cujo gráfico passa por um determinado conjunto de pontos é chamado interpolação polinomial, e o polinômio obtido nesse processo é conhecido como polinômio interpolador.
a) Verifique se p(x) = x2 + 2x − 3 é polinômio interpolador para os pontos P1(−2, −3), P2(0, −3) e P3(1,0).
b) Encontre a, b, c, d ∈ tais que q(x) = ax3 + bx2 + cx + d seja polinômio interpolador para os pontos Q1(−2,8), Q2(−1,1), Q3(1, −4) e Q4(2, −8).
Gabarito:
Resolução:
a)
Vamos substituir os valores do polinômio em p(x) e iremos verificar se pertencem aos pontos do enunciado. Substituindo P1(−2, −3), obteremos:
-3=(-2)²+2.(-2)-3
-3=4-4-3
-3=-3
P2(0, −3)
-3=0²+2.0-3
-3=-3
P3(1,0)
0=1²+2.1-3
0=0
b)
Q1(-2,8) : 8=a.(-2)³+b(-2)²+c(-2)+d 8 = -8a+4b-2c+d
Q2(-1,1) : 1=a.(-1)³+b(-1)²+c(-1)+d 1 = -a+b-c+d
Q3(-1,1) : -4=a.(1)³+b(1)²+c(1)+d -4 = a+b+c+d
Q4(2,-8) : -8=a.(2)³+b(2)²+c(2)+d -8 = 8a+4b+2c+d
Resolvendo o sistema:
e
Substituindo b e d obteremos dois sistemas:
e