Questão 10

UFPR 2019

Matemática

(UFPR - 2019 - 1ª FASE)

Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é 𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟎. Qual das equações abaixo descreve uma circunferência que tangencia B?

$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=15$

$(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=5$

$(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=3$

$(x-7)^{2}+(y-2)^{2}=10$

$(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=9$

Gabarito:

$(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=5$

Resolução:

Para que as duas circunferências sejam tangentes, é necessário que a distância entre os centros seja igual à soma das medidas dos raios.

$x^2+y^2-8x+10y+21=0$

$(x^2-8x+16)-16+(y^2+10y+25)-25+21=0$

$(x-4)^2+(y+5)^2=20$

$C_1=(4,-5)$ e $r_1=2sqrt{5}$

Vamos testar as opções:

A) $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=15$

$C_2=(-1,2)$ e $r_2=sqrt{15}$

$d_{C_1,C_2}^2=(4-(-1))^2+(-5-2)^2=74$

$d_{C_1,C_2}=sqrt{74} eq 2sqrt{5}+sqrt{15}$ ⇒ não é tangente

B) $(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=5$

$C_2=(-2,-2)$ e $r_2=sqrt{5}$

$d_{C_1,C_2}^2=(4-(-2))^2+(-5-(-2))^2=45$

$d_{C_1,C_2}=3sqrt{5} = 2sqrt{5}+sqrt{5}$ ⇒ é tangente

C) $(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=3$

$C_2=(3,1)$ e $r_2=sqrt{3}$

$d_{C_1,C_2}^2=(4-3)^2+(-5-1)^2=37$

$d_{C_1,C_2}=sqrt{37} eq 2sqrt{5}+sqrt{3}$ ⇒ não é tangente

D) $(x-7)^{2}+(y-2)^{2}=10$

$C_2=(7,2)$ e $r_2=sqrt{10}$

$d_{C_1,C_2}^2=(4-7)^2+(-5-2)^2=58$

$d_{C_1,C_2}=sqrt{58} eq 2sqrt{5}+sqrt{10}$ ⇒ não é tangente

E) $(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=9$

$C_2=(-3,-2)$ e $r_2=3$

$d_{C_1,C_2}^2=(4-(-3))^2+(-5-(-2))^2=58$

$d_{C_1,C_2}=sqrt{58} eq 2sqrt{5}+3$ ⇒ não é tangente

Alternativa correta é Letra B.

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