Questão 50

UFPR 2020

Matemática

(UFPR - 2020 - 1ª fase)

O estágio inicial de um modelo epidemiológico, que mede o número de pessoas infectadas em uma população, é descrito pela função $I(t) = I_0cdot 2^{rt}$ , em que $I(t)$ representa o número de infectados da população, $I_0 > 0$ representa o número inicial de infectados, $r > 0$ representa a taxa de contágio e $t$ é o tempo medido em dias desde o início da epidemia. Com relação ao número de infectados, é correto afirmar:

Caso a taxa de infectados $r$ esteja no intervalo $(0,1)$ , então o número de infectados $I(t)$ decresce conforme os dias passam.

Caso $I_0=3$ e $r=2,3$ , então o número de infectados $I(t)$ aumenta desde o primeiro dia até atingir um máximo por volta do sexto dia, e depois começa a decrescer.

Caso $I_0=1$ e $r=1$ , então a cada dia que passa a quantidade de infectados $I(t)$ aumenta em 2.

Caso $I_0=1$ e $r=0,5$ , então é necessário pelo menos 20 dias para que o número de infectados $I(t)$ seja maior que $1000$ .

Se a taxa de contágio $r$ aumentar, então haverá menos pessoas infectadas conforme os dias passam.

Gabarito:

Caso $I_0=1$ e $r=0,5$ , então é necessário pelo menos 20 dias para que o número de infectados $I(t)$ seja maior que $1000$ .

Resolução:

A) Incorreto. Se $r$ estiver no intervalo $(0,1)$ , o expoente inteiro $rt$ será um valor entre 0 e 1. Mas, ainda assim, o expoente se mantém positivo, então conforme o tempo $t$ passa, o número de infectados $I(t)$ aumenta.

B) Incorreto. Para os valores $I_0=3$ e $r=2,3$ , a função continua sendo do tipo exponencial, com expoente sempre positivo. Dessa forma, ela apenas cresce, conforme o tempo passa.

C) Incorreto. Para os valores $I_0=1$ e $r=1$ , a função passa a ser $I(t)=2^t$ . Dessa forma, o número de infectados não aumenta em 2, mas multiplica por 2, a cada dia que passa.

D) Correto. Para os valores $I_0=1$ e $r=0,5$ , a função passa a ser $I(t)=2^{frac{t}{2}}$ . Assim: $2^{frac{t}{2}}> 1000$ , acontece pela primeira vez quando $2^{frac{t}{2}}=1024=2^{10}$ → $t=20$

E) Incorreto. Se a taxa $r$ aumentar, o expoente $rt$ vai aumentar, então haverá mais pessoas contaminadas conforme os dias passam.

Alternativa correta é Letra D.

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