Questão 6464

UFRGS 2016

Matemática

(UFRGS - 2016) Considere as funções f e g, definidas respectivamente por f(x) = 10x - x² - 9 e g(x) = 7, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. O gráfico da função g intercepta o gráfico da função f em dois pontos. O gráfico da função f intercepta o eixo das abscissas em dois pontos.

A área do quadrilátero convexo com vértices nesses pontos é

Gabarito:

Resolução:

1) A função f(x) intercepta o eixo das abscissas quando x é igual a:

$x_{1,:2}=frac{-10pm sqrt{10^2-4left(-1 ight)left(-9 ight)}}{2left(-1 ight)}$

$x_1=1,:x_2=9$

2) Logo os pontos em que a função f intercepta o eixo das abscissas é:

$(1, 0), (9,0)$

3) A função g intercepta a função f quando:

$10x - x^2 - 9=7$

$-x^2+10x-16=0$

$x_{1,:2}=frac{-10pm sqrt{10^2-4left(-1 ight)left(-16 ight)}}{2left(-1 ight)}$

$x_1=2,:x_2=8$

4) Logo os pontos em que a função g intercepta o a função f é:

$(2, 7), (8,7)$

5) Separando em dois triângulos para calcularmos a área:

$(1, 0), (9,0), (2,7)$

$(2, 7), (9,0), (8,7)$

$A = frac{1}{2} cdot (egin{vmatrix} 1 & 0 & 1\ 9 & 0 & 1\ 2 & 7 & 1 end{vmatrix} + egin{vmatrix} 2 & 7 & 1\ 9 & 0 & 1\ 8 & 7 & 1 end{vmatrix})$

$\ A = frac{1}{2} cdot (1cdot egin{vmatrix}0&1\ 7&1end{vmatrix}-0cdot egin{vmatrix}9&1\ 2&1end{vmatrix}+1cdot egin{vmatrix}9&0\ 2&7end{vmatrix} + 2cdot egin{vmatrix}0&1\ 7&1end{vmatrix}-7cdot egin{vmatrix}9&1\ 8&1end{vmatrix}+1cdot egin{vmatrix}9&0\ 8&7end{vmatrix})$

$A = frac{1}{2} cdot (1cdot left(-7 ight)-0cdot :7+1cdot :63 + 2left(-7 ight)-7cdot :1+1cdot :63)$

$A = frac{1}{2}left(56+42 ight) = 49$

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