Questão 62

UFU 2017

Matemática

(UFU - 2017 - 1ª FASE)

Em um determinado sistema mecânico, as extremidades de uma haste rígida AB ficam conectadas, de forma articulada, a um motor e a um corpo, conforme ilustra a figura. Quando o motor é ligado, a haste imprime ao corpo um movimento oscilatório, e a distância horizontal x(t) do ponto B em cada instante t em relação a um ponto fixo O é dado pela expressão $x(t)=|frac{1}{2}.sen(t)+frac{sqrt{3}}{2}.cos(t)|$ centímetros. Nestas condições, a maior distância x(t), em centímetros, será igual a:

$frac{1}{2}$

$frac{sqrt{3}}{2}$

$frac{1+sqrt{3}}{2}$

Gabarito:

Resolução:

$x(t) = |frac{1}{2}cdot sin(t) + frac{sqrt{3}}{2}cdot cos(t)|$

Substituindo e usando os dados fornecidos na questão:

$x(t) = |cos(frac{pi}{3})cdot sin(t) + sin{frac{pi}{3}}cdot cos(t)|$

Podemos perceber que temos então $sin(a+b)$ em que $a=t$ e $b = frac{pi}{3}$ pois:

$sin(a+b) = sin(a) cdot cos(b) + sin(b) cdot cos(a)$

Então:

$x(t) = |cos(frac{pi}{3})cdot sin(t) + sin{frac{pi}{3}}cdot cos(t)| = |sin(t + frac{pi}{3})|$

$x(t) =|sin(t + frac{pi}{3})|$

Então $x(t)$ será máximo quando $|sin(t + frac{pi}{3})|$ for máximo, mas como o máximo de $sin$ é 1, então a distância máxima será $x(t) = 1$ .

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