Questão 65

UFU 2021

Matemática

(UFU - 2021 - 1ª fase) Sejam 𝑓 e 𝑔 funções reais a valores reais, dadas por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 𝑎, onde 𝑎 e 𝑏 são constantes reais, 𝑎 ≠ 0. Considere a função composta ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔.

Sabendo-se que o gráfico da função inversa ℎ ⁻¹ corresponde à reta representada na figura acima, então o valor da soma 𝑎 + 𝑏 é igual a

$frac{11}{12}$

$-frac{17}{9}$

$frac{13}{9}$

$-frac{1}{12}$

Gabarito:

$frac{13}{9}$

Resolução:

Temos que:

$h(x) = f(g(x))$

$h(x) = acdot g(x) + b$

$h(x) = acdot (3x-a) + b$

$h(x) = 3ax-a^2 + b$

Olhando o gráfico vemos que $h^{-1}(x)$ passa por $(1,0)$ e $(2,1)$ , logo $h(x)$ passa por $(0,1)$ e $(1,2)$ . Encontrando $h(x)$ :

$h(0) = 1$

$3acdot 0 - a^2 + b = 1$

$- a^2 + b = 1$ (I)

Com o outro ponto:

$h(1) = 2$

$3a - a^2 + b = 2$

$3a +1 = 2$

$3a = 1$

$a = frac{1}{3}$

Substituindo em (I):

$-a^2 + b = 1$

$-frac{1}{3} + b = 1$

$b = frac{10}{9}$

Fazendo $a+b$ :

$frac{1}{3} + frac{10}{9}$

$frac{13}{9}$

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