Questão 70

UFU 2022

Matemática

(UFU - 2022)

Um projeto de um cartaz está sendo desenvolvido por um designer gráfico. Assim, uma região retangular EFGH de lados medindo, em centímetros, valores a e b, b > a, na razão 2:3, será posicionada no interior da região retangular ABCD, tendo margens igualmente distantes das respectivas margens de ABCD, conforme indicado na figura que segue, sendo x a medida, em cm, do distanciamento das margens.

A região exterior a EFGH e interior a ABCD será preenchida por uma moldura decorativa, no interior de EFGH será desenvolvida toda a arte relacionada à propaganda. O designer está projetando o cartaz de forma que o perímetro de ABCD seja de 7,4 metros e a medida da menor trajetória de extremidades A e E seja de $30sqrt{2} cm$ .

Segundo as informações apresentadas, a área de EFGH, onde será realizada a arte, é igual a

1,5 m²

2,5 m²

2,3 m²

5,0 m²

Gabarito:

1,5 m²

Resolução:

Sabendo que b>a, e que estão na escala de 2:3, temos:

$frac{a}{b}=frac{2}{3} ightarrow a=frac{2b}{3}$

E sabendo que EA é $30sqrt2$ cm, podemos analisar como a diagonal de um quadrado de lado x, que pode ser descrita como $lsqrt2$ , assim:

$30sqrt2=xsqrt2 ightarrow x=30$

Com isso podemos expandir o perímetro:

$2a+2b+8x=7,4m$

$\2cdot frac{2b}{3}+2b+8cdot 0,3m=7,4m\\ frac{4b+6b}{3}+2,4m=7,4m\\ frac{10b}{3}=5m ightarrow 10b=15m ightarrow b=1,5m$

$a=frac{2b}{3} ightarrow a=frac{2cdot1,5}{3} ightarrow a=frac{3}{3}=1m$

Esses são os lados da área que será decorada.

Como a área do retêngulo é base x altura, temos que a área de EFGH será:

$1,5mcdot 1m=1,5m^2$

Letra A

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